Montrer que dans un groupe fini G, l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe.
Considérer le sous-groupe engendré par l'élément.
L'énoncé demande d'appliquer le théorème de Lagrange, ce qui prend trois lignes. Il vaut mieux savoir en plus pourquoi ce théorème est vrai — sa démonstration tient en une idée — et surtout ce qu'il ne dit pas, car sa réciproque est fausse et le contre-exemple est instructif. Rappel — théorème de Lagrange et sa démonstration. Si [formule] est un sous-groupe d'un groupe fini [formule], alors [formule] divise [formule]. La démonstration repose entièrement sur les classes à gauche [formule]. Deux faits suffisent : elles partitionnent [formule] (tout [formule] est dans [formule] puisque [formule], et deux classes qui se rencontrent sont égales), et elles ont toutes le même cardinal [formule], l'application [formule] étant bijective de [formule] sur [formule]. Donc [formule], où l'indice [formule] est le nombre de classes. Application à l'ordre d'un élément. Soit [formule] d'ordre [formule], c'est-à-dire le plus petit entier [formule] tel que [formule] — il existe puisque [formule] est fini, la suite [formule] devant se répéter. Le sous-groupe engendré est [formule] et ces [formule] éléments sont deux à deux distincts : si [formule] avec [formule], alors [formule] avec [formule], ce qui contredit la minimalité de [formule]. Donc [formule], et Lagrange donne [formule]. Les conséquences immédiates, qui sont l'essentiel. De [formule] on tire [formule] pour tout [formule]. Appliqué à [formule], dont le cardinal est [formule], cela donne le théorème d'Euler : [formule] dès que [formule] ; et pour [formule] premier, le petit théorème de Fermat. Autre conséquence : un groupe d'ordre premier [formule] n'a que les sous-groupes triviaux, donc tout élément [formule] engendre [formule] — un tel groupe est cyclique, et il n'y en a qu'un à isomorphisme près. ⚠️⚠️ La réciproque est FAUSSE : un diviseur de [formule] n'est pas toujours l'ordre d'un sous-groupe. Le contre-exemple minimal est [formule], de cardinal [formule], qui n'a aucun sous-groupe d'ordre [formule]. Démonstration : un tel [formule] serait d'indice [formule], donc distingué, et [formule] serait isomorphe à [formule] ; tout carré de [formule] appartiendrait alors à [formule]. Or un [formule]-cycle [formule] vérifie [formule], et [formule] contient huit [formule]-cycles — d'où [formule], contradiction. Vérification exhaustive faite par ailleurs : aucune des parties à [formule] éléments de [formule] n'est un sous-groupe. Ce qui subsiste de la réciproque. Trois théorèmes la rattrapent partiellement, par ordre de force croissante. Cauchy : si un premier [formule] divise [formule], alors [formule] a un élément d'ordre [formule]. Sylow : si [formule] est la plus grande puissance de [formule] divisant [formule], alors [formule] a un sous-groupe d'ordre [formule]. Et pour les groupes abéliens, la réciproque de Lagrange est vraie sans restriction — c'est ce qui rend [formule], non abélien, nécessaire comme contre-exemple. 💡 À retenir. Lagrange est un théorème de contrainte : il élimine des possibilités sans jamais en construire. Son usage typique est la classification — pour un groupe d'ordre [formule], les ordres d'éléments possibles sont [formule], [formule], [formule] et [formule], ce qui suffit déjà à séparer les cinq groupes d'ordre [formule]. Et retenir la relation [formule], dont la formule des classes et l'équation aux classes sont des raffinements.