Théorème de Lagrange

Énoncé

Montrer que dans un groupe fini G, l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe.

Indication

Considérer le sous-groupe engendré par l'élément.

Solution

Soit [formule] G. Le sous-groupe [formule] = e, a, [formule], ..., a^(k−1) où k = ordre de a. |H| = k (ordre de a). Par le théorème de Lagrange : |H| divise |G|. Donc k divise |G|.