Montrer que toute fonction continue sur un compact [formule] est uniformément continue.
Niez l'uniformité et regardez ce que la négation fabrique. Où la compacité sert-elle — une fois, ou deux ?
L'énoncé demande de passer d'une propriété locale (continuité en chaque point) à une propriété globale (un même [formule] pour tout le domaine). C'est typiquement ce que la compacité permet, et le raisonnement par l'absurde est ici le plus court : nier l'uniformité fabrique deux suites, et la compacité les fait converger vers le même point. Rappel — Continuité uniforme. [formule] est uniformément continue si [formule]. La différence avec la continuité simple tient à l'ordre des quantificateurs : ici [formule] est choisi avant [formule], donc ne dépend pas du point. Négation. Nier cette proposition donne : il existe [formule] tel que, pour tout [formule], on trouve [formule] avec [formule] et [formule]. En prenant [formule], on construit deux suites [formule] et [formule] de [formule] telles que [formule] et [formule]. La compacité, employée deux fois. D'abord Bolzano-Weierstrass : [formule] vit dans le compact [formule], donc admet une sous-suite [formule]. Ensuite la fermeture de [formule] : la limite [formule] appartient encore à [formule], donc [formule] y est définie et continue. Sans ce second point, tout s'arrête. Comme [formule], la suite [formule] converge vers le même [formule]. Contradiction. Par continuité de [formule] en [formule] : [formule] et [formule], donc [formule]. Or cette quantité est minorée par [formule] pour tout [formule] : absurde. Donc [formule] est uniformément continue. ⚠️ L'erreur classique. Croire que la continuité suffit. Le théorème est faux sans compacité, et les deux contre-exemples sont à connaître : [formule] sur [formule] (fermé non borné) — à pas fixe [formule], l'écart [formule] vaut [formule] en [formule] et [formule] en [formule], donc aucun [formule] ne marche partout ; et [formule] sur [formule] (borné non fermé), où l'écart explose près de [formule]. 💡 À retenir. Heine est ce qui rend l'intégrale de Riemann possible : c'est l'uniformité du [formule] qui permet de majorer la différence entre sommes de Darboux sur tout le segment à la fois. Le schéma « nier l'uniformité, extraire, contredire » sert à démontrer bien d'autres passages du local au global sur un compact.