Théorème de Heine

Énoncé

Montrer que toute fonction continue sur un compact [formule] est uniformément continue.

Indication

Par l'absurde, construire des suites et utiliser BW.

Solution

Par l'absurde : [formule], [formule], [formule] : [formule] et [formule]. [formule] bornée dans [formule] compact, donc BW : [formule]. Comme [formule] : [formule] aussi. Par continuité : [formule] et [formule]. Donc [formule] : contradiction. [formule]