Soit [formule] convexe fermé dans [formule] et [formule]. Montrer qu'il existe un hyperplan séparant [formule] et [formule].
En dimension finie, la projection sur [formule] donne l'hyperplan sans invoquer Hahn-Banach. Où sert exactement la convexité ?
En dimension finie, la séparation d'un point et d'un convexe fermé ne demande pas Hahn-Banach : la projection sur le convexe suffit, et elle est constructive. C'est en dimension infinie que Hahn-Banach devient indispensable — le savoir évite d'invoquer un théorème dont on n'a pas besoin. Rappel — Projection sur un convexe fermé. Dans un espace de Hilbert (ici [formule]), pour [formule] convexe fermé non vide et [formule] quelconque, il existe un unique [formule] réalisant [formule]. Il est caractérisé par l'inégalité variationnelle [formule] pour tout [formule]. L'inégalité variationnelle, et d'où elle vient. Soit [formule]. Par convexité, [formule] pour [formule], donc [formule]. En développant : [formule]. En divisant par [formule] puis en faisant [formule], il reste [formule]. Géométriquement : depuis [formule], l'angle vers [formule] et vers tout point de [formule] est obtus. La forme linéaire séparante. Posons [formule], affine et continue. L'inégalité précédente donne [formule] pour tout [formule]. Et elle sépare strictement. [formule], car [formule] et [formule] est fermé, donc [formule]. Ainsi [formule] pour tout [formule] : l'hyperplan affine [formule] sépare strictement [formule] de [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Oublier que [formule] doit être fermé. Sans cela [formule] peut être nulle sans que [formule] appartienne à [formule] — prendre [formule] la boule unité ouverte et [formule] sur la sphère : aucun hyperplan ne les sépare strictement. Et si [formule] n'est pas convexe, la projection n'est ni unique ni caractérisée par l'angle obtus : le raisonnement s'effondre dès la première ligne. 💡 À retenir. Deux régimes à ne pas confondre. En dimension finie ou dans un Hilbert, la projection suffit et fournit l'hyperplan explicitement. En dimension infinie sans structure hilbertienne, c'est la forme géométrique de Hahn-Banach qu'il faut — et elle exige alors qu'un des deux convexes soit compact, ou ouvert, pour obtenir une séparation stricte.