Soit [formule] sous-espace de dimension finie de [formule] normé, [formule]. Montrer qu'on peut prolonger [formule] en [formule] avec [formule].
Quelle fonction sous-linéaire [formule] encode « ne pas dépasser la norme de [formule] » ? Et attention : Hahn-Banach majore [formule], pas [formule].
Prolonger une forme linéaire est facile ; la prolonger sans augmenter sa norme ne l'est pas. Hahn-Banach fait exactement cela, et toute la preuve consiste à trouver la fonction sous-linéaire [formule] qui encode la contrainte de norme. Rappel — Hahn-Banach analytique. Soit [formule] sous-linéaire ([formule] pour [formule] et [formule]), [formule] un sous-espace et [formule] linéaire avec [formule] sur [formule]. Alors il existe [formule] linéaire prolongeant [formule] et vérifiant [formule] sur [formule] tout entier. Le choix de [formule]. Posons [formule]. C'est une norme à un facteur positif près, donc sous-linéaire. Et sur [formule] : [formule]. Les hypothèses sont réunies. Prolongement. Hahn-Banach fournit [formule] linéaire sur [formule], égale à [formule] sur [formule], avec [formule] pour tout [formule]. De la majoration à la norme. Appliquer l'inégalité à [formule] donne [formule], donc [formule] : [formule] est continue et [formule]. Cette étape est celle qu'on saute : Hahn-Banach donne une majoration unilatérale, pas une majoration en valeur absolue. Inégalité inverse. [formule] prolongeant [formule], le sup définissant [formule] porte sur un ensemble plus grand que celui de [formule] : [formule]. D'où [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Conclure [formule] directement de [formule]. C'est faux en général pour une [formule] sous-linéaire quelconque ; cela ne marche ici que parce que [formule] est paire, [formule]. Second point : l'hypothèse « [formule] de dimension finie » de l'énoncé est superflue — Hahn-Banach n'en a pas besoin. En dimension finie on peut d'ailleurs se passer du lemme de Zorn, en prolongeant coordonnée par coordonnée. 💡 À retenir. La conséquence la plus utilisée : pour tout [formule] il existe [formule] avec [formule] et [formule] — on l'obtient en appliquant ce résultat à [formule]. C'est elle qui montre que [formule] sépare les points, donc que l'injection canonique de [formule] dans son bidual est isométrique.