Calculer [formule] où [formule].
Les polaires transforment le quart de disque en RECTANGLE. Et sur une fonction positive, quel théorème citer — Fubini ou Tonelli ?
L'intégrande et le domaine ont tous deux une symétrie de révolution : les polaires s'imposent. Et comme la fonction est positive sur [formule], c'est Tonelli qui autorise le calcul itéré — sans avoir à vérifier quoi que ce soit au préalable. Rappel — Tonelli et Fubini. Tonelli : pour [formule] mesurable, l'intégrale double se calcule par intégrales itérées, dans n'importe quel ordre, sans hypothèse d'intégrabilité. Fubini : pour [formule] de signe quelconque, il faut d'abord savoir [formule]. Ici [formule] sur le premier quadrant : Tonelli suffit, et c'est lui qu'il faut citer. Le domaine en polaires. [formule] est le quart de disque unité du premier quadrant, décrit par [formule] et [formule] — un rectangle dans les nouvelles coordonnées, ce qui est tout l'intérêt du changement de variables. Le jacobien vaut [formule], donc [formule]. Le calcul. [formule]. Les variables étant séparées — le domaine étant un rectangle et l'intégrande un produit — l'intégrale double devient un produit d'intégrales simples : [formule], la seconde intégrale valant [formule]. Contrôle par la voie cartésienne. [formule]. Même valeur — vérifiée aussi numériquement. Un contrôle par un second chemin coûte deux lignes et attrape un jacobien oublié. ⚠️ L'erreur classique. Oublier le jacobien [formule], ce qui donnerait [formule]. Le réflexe qui protège : en polaires, l'élément d'aire n'est jamais [formule] — un secteur situé loin de l'origine est plus large, et le facteur [formule] mesure exactement cela. Second piège : citer Fubini ici. Ce n'est pas faux au sens où le résultat est juste, mais Fubini demande une hypothèse qu'on n'a pas vérifiée, alors que Tonelli n'en demande aucune sur une fonction positive. 💡 À retenir. La séparation en produit d'intégrales n'est licite qu'à deux conditions simultanées : le domaine est un pavé dans les variables utilisées, et l'intégrande est un produit d'une fonction de chaque variable. Ici les polaires réalisent la première, et l'intégrande fournit la seconde. Sur le quart de disque en cartésiennes, la première tombe — la borne [formule] dépend de [formule].