Résoudre le système [formule], [formule], [formule].
Bézout pour construire la solution.
La méthode des [formule] est un algorithme, et il vaut mieux savoir ce qu'elle construit : une base de solutions élémentaires, chacune valant [formule] pour un module et [formule] pour les autres. Une fois cette lecture faite, la formule finale n'est plus à retenir, elle se reconstruit. Rappel — l'énoncé structurel. Si [formule] sont deux à deux premiers entre eux, alors [formule] comme anneaux. C'est un isomorphisme, donc le système admet une solution et une seule modulo le produit : l'existence et l'unicité sont le même énoncé. La construction, et ce que sont les [formule]. Posons [formule] où [formule]. Comme [formule], on peut inverser [formule] modulo [formule], ce qui donne [formule] avec [formule]. Le produit [formule] vaut alors [formule] modulo [formule] et [formule] modulo tous les autres — c'est l'indicatrice du [formule]-ième module. La solution s'obtient en combinant ces indicatrices avec les valeurs voulues. Le calcul. [formule]. [formule] Puis [formule] Contrôle — à faire systématiquement, il coûte trois divisions. [formule] donc [formule] ✓ ; [formule] donc [formule] ✓ ; [formule] donc [formule] ✓. Les trois congruences sont satisfaites, et l'unicité modulo [formule] garantit qu'il n'y a pas d'autre classe de solutions. ⚠️ La coprimalité DEUX À DEUX est indispensable, et son échec ne se manifeste pas toujours de la même façon. Le système [formule], [formule] n'a aucune solution : la seconde congruence impose [formule] pair. En revanche [formule], [formule] en a — la seconde implique la première. Sans coprimalité, un système peut donc être incompatible ou redondant, et il faut le résoudre à la main : la formule des [formule] ne s'applique pas, faute d'inverses. 💡 À retenir. Deux usages qui reviennent. Le calcul modulaire rapide : pour travailler modulo [formule], on travaille en parallèle modulo [formule], [formule] et [formule] sur des nombres minuscules — c'est le principe des systèmes de représentation par restes. Et la structure : l'isomorphisme d'anneaux passe aux groupes d'inversibles, [formule], ce qui donne immédiatement la multiplicativité de l'indicatrice d'Euler.