Soit [formule] suite bornée dans [formule]. Montrer qu'elle admet une sous-suite convergente.
Dichotomie sur les intervalles.
[formule] bornée : [formule] [−M,M]. Dichotomie : [−M,M] contient une infinité de termes. Le découper en [−M,0] et [0,M]. L'un contient une infinité de termes. Répéter : construire une suite d'intervalles emboîtés [formule] de longueur [formule], chacun contenant une infinité de [formule]. Extraire [formule]. Par construction, c'est une suite de Cauchy, donc convergente dans [formule] (complet).