Soit [formule] suite bornée dans [formule]. Montrer qu'elle admet une sous-suite convergente.
Pourquoi faut-il « une INFINITÉ de termes » à chaque étape, et pas seulement « au moins un » ?
On ne peut pas extraire « la » sous-suite convergente en désignant ses termes un à un : rien ne dit où ils s'accumulent. L'idée est de piéger l'accumulation dans des intervalles de plus en plus courts, en coupant à chaque étape celui qui contient encore une infinité de termes. Rappel — Segments emboîtés et complétude. Une suite décroissante de segments [formule] dont la longueur tend vers [formule] a une intersection réduite à un point. C'est une reformulation de la complétude de [formule] — sur [formule], l'énoncé est faux. Construction par dichotomie. [formule] est bornée : il existe [formule] avec [formule] pour tout [formule]. Cet intervalle contient donc une infinité de termes. En le coupant en deux, l'une au moins des deux moitiés en contient encore une infinité — sinon leur réunion n'en contiendrait qu'un nombre fini. On choisit celle-là et on recommence. On obtient des segments emboîtés [formule] avec [formule], chacun contenant une infinité de termes de la suite. Extraction, et c'est ici que sert « une infinité ». On choisit [formule] avec [formule], puis, à chaque étape, [formule] avec [formule] — possible précisément parce que l'intervalle contient une infinité d'indices, donc au moins un plus grand que [formule]. Un intervalle simplement non vide ne le permettrait pas. Conclusion. Pour [formule], les deux termes [formule] et [formule] sont dans [formule], donc [formule] : la sous-suite est de Cauchy, donc converge, [formule] étant complet. Sa limite est l'unique point de l'intersection des segments. ⚠️ L'erreur classique. Écrire « l'un des deux intervalles contient une infinité de termes » sans le justifier, ou pire, se contenter de « contient au moins un terme ». C'est toute la différence : avec « au moins un », l'extraction bloque dès qu'on a épuisé les indices disponibles, et la suite [formule] n'est plus strictement croissante — donc ce n'est plus une sous-suite. 💡 À retenir. Bolzano-Weierstrass caractérise les compacts de [formule] : fermé borné [formule] toute suite admet une sous-suite convergente dans l'ensemble. En dimension infinie il tombe, et c'est ce qui rend le théorème d'Ascoli nécessaire — lui rétablit l'extraction au prix de l'équicontinuité.