Soit [formule] suite de C([0,1],[formule] lipschitziennes de rapport k, bornées par M. Montrer qu'on peut en extraire une sous-suite uniformément convergente.
« Lipschitzienne de rapport [formule] » avec le MÊME [formule] pour toute la suite : quelle hypothèse d'Ascoli cela donne-t-il ?
En dimension infinie, « bornée » n'entraîne plus « on peut extraire une sous-suite convergente » : la boule unité de [formule] n'est pas compacte. Ascoli dit quelle hypothèse supplémentaire rétablit l'extraction — l'équicontinuité — et c'est elle que l'énoncé nous donne, déguisée en « lipschitzienne de rapport [formule] ». Rappel — Théorème d'Ascoli. Soit [formule] compact et [formule]. Alors [formule] est relativement compacte pour la norme uniforme si et seulement si [formule] est ponctuellement bornée et équicontinue. En particulier, de toute suite vérifiant ces deux propriétés on peut extraire une sous-suite uniformément convergente. Le compact. [formule] est fermé borné dans [formule], donc compact : la première hypothèse d'Ascoli est acquise, et elle n'est pas décorative — sur [formule] tout entier la conclusion tomberait. Borne ponctuelle. Par hypothèse [formule] pour tout [formule] et tout [formule] : la famille est même uniformément bornée, ce qui est plus fort que ce qu'Ascoli demande. Équicontinuité, et c'est le point. Le mot « équi- » signifie que le [formule] ne dépend pas de [formule]. Ici [formule] avec le même [formule] pour toute la suite : pour [formule], le choix [formule] convient simultanément pour tous les [formule]. La famille est donc équicontinue — et même uniformément équilipschitzienne. Les deux hypothèses étant réunies sur un compact, Ascoli fournit une extractrice [formule] strictement croissante et une fonction [formule] telles que [formule] uniformément sur [formule]. La limite hérite de la régularité. En passant à la limite dans [formule], on obtient [formule] : [formule] est elle aussi [formule]-lipschitzienne, et [formule]. L'ensemble des fonctions [formule]-lipschitziennes bornées par [formule] est donc compact, pas seulement relativement compact. ⚠️ L'erreur classique. Confondre « chaque [formule] est continue » avec « la famille est équicontinue ». La suite [formule] sur [formule] est faite de fonctions continues, bornées par [formule] — et n'admet aucune sous-suite uniformément convergente, car sa limite simple est discontinue en [formule]. Ce qui lui manque est exactement l'uniformité en [formule] : près de [formule], le [formule] nécessaire s'effondre quand [formule] grandit. 💡 À retenir. Ascoli est le substitut de Bolzano-Weierstrass en dimension infinie, et le prix à payer est l'équicontinuité. C'est lui qui donne l'existence de solutions dans le théorème de Cauchy-Peano (sans hypothèse lipschitzienne), et une borne uniforme sur les dérivées est la façon la plus courante de vérifier ses hypothèses.