Soit [formule] suite de fonctions [formule] sur [formule] telles que [formule] et [formule] partout. Montrer qu'on peut extraire une sous-suite uniformément convergente.
On ne borne les [formule] qu'en [formule]. Qu'est-ce qui propage cette borne à tout [formule] ?
L'hypothèse est ici plus faible qu'il n'y paraît : on ne borne les [formule] qu'en un seul point, [formule]. C'est le contrôle de la dérivée qui propage cette borne à tout l'intervalle. Reconnaître ce mécanisme, c'est comprendre pourquoi Ascoli ne demande qu'une bornitude ponctuelle et non uniforme. Rappel — Ascoli, forme précise. Sur un compact [formule], une suite [formule] de [formule] admet une sous-suite uniformément convergente dès qu'elle est équicontinue et ponctuellement bornée — c'est-à-dire que pour chaque [formule], la suite numérique [formule] est bornée. La bornitude uniforme n'est pas exigée : sur un compact connexe, l'équicontinuité la fabrique à partir d'un seul point. Équicontinuité, par la dérivée. Pour tous [formule], le théorème fondamental de l'analyse donne [formule], d'où [formule]. Toutes les [formule] sont donc [formule]-lipschitziennes : pour [formule], le choix [formule] convient simultanément pour tous les [formule]. De la borne en un point à la borne partout. [formule], donc [formule] sur [formule]. La suite est donc uniformément bornée par [formule] — conclusion obtenue à partir d'une hypothèse portant sur le seul point [formule]. Les deux hypothèses d'Ascoli étant vérifiées sur le compact [formule], on peut extraire une sous-suite [formule] uniformément convergente. Sa limite est [formule]-lipschitzienne, par passage à la limite dans l'inégalité — mais elle n'a aucune raison d'être [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Croire qu'il faut supposer [formule] uniformément bornée. C'est une hypothèse trop forte, et la chercher fait manquer le mécanisme : l'équicontinuité relie les valeurs en tous les points, donc une borne en un seul suffit dès que le domaine est connexe et borné. Sur un domaine à deux composantes, en revanche, il faudrait une borne dans chacune — l'argument ne traverse pas le vide. 💡 À retenir. La combinaison « borne sur [formule] + valeur contrôlée en un point » est le schéma d'application le plus fréquent d'Ascoli, et c'est celui qu'on rencontre dans la démonstration du théorème de Cauchy-Peano : les solutions approchées y sont équilipschitziennes parce que [formule] est bornée, et toutes partent du même point initial.