On lance 10000 fois une pièce équilibrée. Estimer [formule] où S = nombre de piles.
Utiliser l'approximation normale.
Cet énoncé est le précédent avec [formule] multiplié par dix, et c'est exactement pour cela qu'il est intéressant : la mécanique est identique, donc ce qu'on va y lire n'est pas une méthode mais un régime. La question utile est celle-ci — que gagne-t-on à lancer dix fois plus ? Les paramètres. [formule], donc [formule] La fenêtre [formule] est donc exactement [formule] — ce qui suffit déjà à prédire un résultat proche de [formule] avant tout calcul. Le calcul. Par le théorème central limite, [formule] Avec la correction de continuité ([formule] au lieu de [formule], la variable étant entière) : [formule] et l'on obtient [formule]. La valeur binomiale exacte est [formule] : l'erreur passe de [formule] à [formule], soit 200 fois mieux. Ce que dix fois plus de lancers achète vraiment. L'écart-type de la fréquence [formule] vaut [formule], donc il décroît en [formule] et non en [formule] : [formule] Le rapport est [formule], pas [formule]. Diviser la marge d'erreur par deux coûte quatre fois plus d'observations, et c'est le fait économique central de toute la statistique. La même chose vue à fenêtre relative constante. À [formule], la fenêtre [formule] vaut [formule] de [formule] et capture [formule] de la masse. À [formule], la fenêtre [formule] est [formule], soit [formule], et capture [formule]. La fréquence se concentre : c'est la loi des grands nombres, dont le TCL donne ici la vitesse. ⚠️ « [formule] grand » n'est pas le bon critère. Ce qui doit être grand, ce sont [formule] et [formule] — en pratique au moins [formule], souvent [formule]. Avec [formule] et [formule], on a [formule] et l'approximation normale est franchement mauvaise ; c'est l'approximation de Poisson qui vaut dans ce régime. Ici [formule], donc aucune difficulté. 💡 À retenir. Le TCL ne dit pas seulement que la moyenne converge, il dit à quelle vitesse : les fluctuations sont d'ordre [formule] en valeur absolue, donc [formule] en fréquence. C'est ce facteur [formule] qui fixe la taille des sondages, la largeur des intervalles de confiance et le nombre de tirages d'une simulation de Monte-Carlo.