100 lancers, 58 faces. IC à 95% pour p (proba de face) ?
TCL avec p̂ = 0.58.
Les deux exercices voisins utilisent le TCL dans le sens direct : on connaît [formule], on prédit [formule]. Ici on l'utilise à l'envers — on observe [formule] et l'on cherche ce qu'on peut affirmer sur [formule]. C'est le passage des probabilités à la statistique, et la difficulté n'est pas le calcul mais la lecture du résultat. Rappel — le TCL appliqué à une fréquence. Si [formule] est la fréquence observée sur [formule] épreuves indépendantes de paramètre [formule], alors [formule] Le dénominateur contient [formule], qui est inconnu : on le remplace par [formule], ce qui est licite parce que [formule] presque sûrement (lemme de Slutsky). Le calcul. [formule], donc [formule] et l'erreur-type de [formule] vaut [formule]. Avec le quantile [formule] de la loi normale centrée réduite : [formule] La lecture — c'est ici que tout se joue. [formule] appartient à l'intervalle. Autrement dit, [formule] faces sur [formule] ne permettent pas de conclure que la pièce est truquée : une pièce parfaitement équilibrée produit couramment un tel écart. Le contrôle direct le confirme — sous l'hypothèse [formule], on a [formule], ce qui correspond à une probabilité de [formule] d'observer un écart au moins aussi grand (valeur binomiale exacte : [formule]). Rien d'anormal. Combien faudrait-il de lancers pour trancher ? Si la fréquence restait à [formule], la demi-largeur [formule] donnerait : [formule] Il suffirait donc de doubler l'échantillon pour exclure [formule]. À [formule], l'intervalle serait [formule] — conclusion sans ambiguïté. ⚠️ Ce que l'intervalle de confiance ne dit pas. Il est faux d'écrire « [formule] a [formule] de chances d'être dans [formule] » : [formule] est un nombre fixe, il y est ou il n'y est pas. C'est l'intervalle qui est aléatoire, et la garantie porte sur la méthode — en répétant l'expérience, [formule] des intervalles ainsi construits contiendraient la vraie valeur. La nuance paraît byzantine et ne l'est pas : c'est elle qui sépare l'approche fréquentiste de l'approche bayésienne. 💡 À retenir. La demi-largeur d'un intervalle de confiance sur une proportion est [formule], majorée par [formule] puisque [formule] — d'où la règle des sondages, une marge d'environ [formule]. Et un résultat qui contient la valeur de référence n'est pas un résultat négatif : c'est une absence de conclusion, ce qui n'est pas la même chose.