1000 lancers de pièce. [formule] ?
TCL avec [formule], [formule].
La loi exacte de [formule] est binomiale, et [formule] est donc une somme de [formule] coefficients binomiaux d'ordre [formule] — calculable par une machine, pas à la main. Le théorème central limite remplace cette somme par une lecture de table. Tout l'exercice consiste à savoir de combien on se trompe en faisant ce remplacement. Rappel — théorème central limite. Si [formule] sont indépendantes, de même loi, d'espérance [formule] et de variance [formule] finie non nulle, alors [formule] Aucune hypothèse sur la loi des [formule] au-delà du moment d'ordre [formule] : c'est ce qui fait la portée du théorème. Les paramètres. Chaque lancer est une Bernoulli de paramètre [formule], donc [formule] et [formule]. Pour [formule] : [formule] Le calcul brut. [formule] La valeur binomiale exacte est [formule] : on se trompe de [formule], soit un peu plus d'un point de pourcentage. La correction de continuité, et ce qu'elle rapporte. [formule] ne prend que des valeurs entières, alors que la loi normale est continue. Dans l'approximation, l'entier [formule] correspond à la bande [formule] : l'événement [formule] occupe donc [formule] et non [formule]. On remplace [formule] par [formule] : [formule] L'erreur tombe de [formule] à [formule] — environ 370 fois mieux, pour un demi-point ajouté à chaque borne. Pourquoi le TCL est indispensable ici. Bienaymé-Tchebychev s'applique aussi et donne [formule], donc seulement [formule]. C'est vrai, et sans aucun intérêt face à la valeur réelle [formule]. Tchebychev majore une queue sans rien supposer de la forme de la loi ; le TCL, lui, dit quelle est cette forme. ⚠️ Le TCL est un énoncé asymptotique, pas une égalité. Il ne fournit aucune borne d'erreur par lui-même — c'est le théorème de Berry-Esseen qui la donne, en [formule]. Ici [formule], du bon ordre de grandeur pour l'écart de [formule] observé sans correction. Écrire une égalité au lieu de [formule] est l'erreur de rédaction la plus fréquente sur cet exercice. 💡 À retenir. Trois automatismes : [formule] pour une binomiale, la correction de continuité dès que la variable est entière — elle est presque gratuite et vaut souvent deux chiffres significatifs —, et le réflexe de comparer la fenêtre à [formule] plutôt qu'à [formule]. Ici [formule], ce qui annonçait dès le départ un résultat autour de [formule].