Montrer qu'un groupe d'ordre 15 est cyclique.
Utiliser Sylow pour montrer qu'il n'y a qu'un seul 3-Sylow et qu'un seul 5-Sylow.
Le comptage des Sylow est immédiat, et la conclusion « donc [formule] est cyclique » suit en apparence toute seule. En réalité elle saute deux arguments, dont un qui est le cœur du raisonnement : rien ne dit a priori que deux sous-groupes distingués engendrent un produit direct. Rappel — troisième théorème de Sylow. Pour [formule] premier divisant [formule] avec [formule], le nombre [formule] de [formule]-Sylow vérifie [formule] Et [formule] équivaut à ce que l'unique [formule]-Sylow soit distingué — les Sylow étant tous conjugués entre eux, un Sylow seul est stable par conjugaison. Le comptage. [formule]. Pour [formule] : [formule] donc [formule], et [formule] élimine [formule] (qui vaut [formule] modulo [formule]). Donc [formule]. Pour [formule] : [formule] donc [formule], et [formule] élimine [formule]. Donc [formule]. Notons [formule] l'unique [formule]-Sylow et [formule] l'unique [formule]-Sylow : tous deux sont distingués. Premier argument omis — l'intersection est triviale. [formule] est un sous-groupe de [formule] et de [formule], donc par Lagrange son cardinal divise à la fois [formule] et [formule] : il vaut [formule], et [formule]. Second argument omis, et c'est le décisif — les éléments de [formule] et [formule] commutent. Soient [formule] et [formule], et considérons le commutateur [formule]. On le lit de deux façons : [formule] Il appartient donc à [formule], soit [formule]. C'est ici que la normalité des DEUX sous-groupes sert : avec un seul, l'argument tombe. Conclusion. L'application [formule], [formule], est alors un morphisme (grâce à la commutation), injectif (grâce à [formule]), et son image a [formule] éléments : c'est un isomorphisme. Donc [formule] le dernier isomorphisme étant le théorème chinois, [formule] et [formule] étant premiers entre eux. En particulier [formule] est cyclique — il n'existe qu'un seul groupe d'ordre [formule]. ⚠️ Le résultat ne se généralise pas à tout produit de deux premiers. Pour [formule] avec [formule], on a toujours [formule], mais [formule] peut valoir [formule] : la condition [formule] n'élimine [formule] que si [formule]. Ici [formule] et [formule], non divisible par [formule] : d'où l'unicité. En revanche pour [formule], on a [formule], et il existe bel et bien un groupe non abélien d'ordre [formule]. Même chose pour [formule] (le groupe [formule]) et [formule]. 💡 À retenir. Le critère complet : un groupe d'ordre [formule] avec [formule] premiers est cyclique si et seulement si [formule]. Et la mécanique à reproduire — Sylow pour obtenir la normalité, Lagrange pour l'intersection triviale, le commutateur pour la commutation, puis le produit direct. C'est le schéma standard de toute classification de petits groupes.