Soit [formule] et [formule]. Montrer que [formule] converge et trouver sa limite.
Le point fixe de [formule] vous donne le majorant à viser — mais il ne prouve rien tant que la convergence n'est pas établie.
Le schéma est immuable pour une suite [formule] : on établit d'abord la convergence — par monotonie et bornitude — et on identifie ensuite la limite. L'ordre n'est pas négociable, et l'inverser est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Rappel — Théorème de la limite monotone. Toute suite réelle croissante et majorée converge, et sa limite est la borne supérieure de ses termes. C'est un théorème d'existence : il ne dit pas quelle est la limite, seulement qu'elle existe. Croissance, par récurrence. [formule]. Et si [formule], alors [formule], donc [formule] — la racine étant strictement croissante. La suite est donc strictement croissante. Majoration par [formule], par récurrence. [formule]. Et si [formule], alors [formule]. Le majorant [formule] n'est pas choisi au hasard : c'est le point fixe de [formule], donc le seul candidat possible. Convergence puis identification. [formule] croissante majorée converge vers un [formule]. En passant à la limite dans [formule] — licite car [formule] est continue en [formule] — on obtient [formule], soit [formule], c'est-à-dire [formule]. Comme [formule], on conclut [formule]. Une forme close inattendue. En posant [formule], la relation devient [formule], d'où [formule]. Avec [formule] : [formule] — vérifié à la double précision, et la convergence vers [formule] y devient évidente. ⚠️ L'erreur classique. Résoudre [formule] d'abord et annoncer « donc [formule] ». C'est un raisonnement circulaire : le passage à la limite suppose que la limite existe, ce qui est précisément ce qu'il faut démontrer. La suite [formule] avec [formule] a pour seule solution de [formule] la valeur [formule], et elle diverge vers [formule]. 💡 À retenir. Trois questions, toujours dans cet ordre : la suite est-elle bien définie (ici [formule]) ? est-elle monotone et bornée ? et seulement alors, quelle est sa limite ? Chercher le point fixe avant est utile pour deviner le bon majorant, jamais pour conclure.