Soit [formule] et [formule]. Montrer que [formule] et [formule] sont adjacentes.
Montrer que [formule] décroît, [formule] croît, et [formule].
Tout repose sur l'encadrement [formule] pour [formule] : la borne de droite fera croître [formule], celle de gauche fera décroître [formule]. L'encadrement, démontré — il sert deux fois et ne se postule pas. Pour [formule], la fonction [formule] étant concave, son graphe est sous chaque tangente : celle en [formule] donne [formule], avec égalité seulement en [formule]. Pour l'autre borne, appliquons le même argument à [formule] entre [formule] et [formule] : l'accroissement fini [formule] pour un [formule], et [formule] donne [formule]. [formule] décroît : [formule], car [formule] appliqué à [formule] donne [formule]. [formule] croît : [formule], car [formule]. Les deux termes en [formule] se sont simplifiés. [formule], et [formule] pour tout [formule]. [formule] décroissante, [formule] croissante, différence tendant vers [formule] : les suites sont adjacentes, donc convergent vers une limite commune [formule] (constante d'Euler), qu'elles encadrent : [formule]. Table de contrôle, que le lecteur peut refaire à la calculatrice. L'écart [formule] vaut exactement [formule], et [formule] est bien encadré à chaque rang : • [formule] : [formule] et [formule], écart [formule] - [formule] : [formule] et [formule], écart [formule] - [formule] : [formule] et [formule], écart [formule] - [formule] : [formule] et [formule], écart [formule] La convergence est donc lente — l'encadrement ne gagne qu'un facteur [formule] par décade — ce qui explique qu'on ne connaisse toujours pas la nature arithmétique de [formule] : on ignore même s'il est rationnel. ⚠️ Le piège : prendre [formule]. La différence tend bien vers [formule], mais cette suite décroît elle aussi ([formule], [formule], [formule]) : deux suites décroissantes ne sont jamais adjacentes, et l'argument ne prouve plus la convergence. 💡 À retenir. Deux suites sont adjacentes lorsque l'une croît, l'autre décroît, et que leur différence tend vers [formule] : elles convergent alors vers une limite commune qu'elles encadrent, ce qui fournit une valeur approchée avec sa précision. Le contrôle qui ne trompe pas est de calculer les trois ou quatre premiers termes — deux suites qui varient dans le même sens ne peuvent pas être adjacentes, quelle que soit leur différence.