Montrer que les fonctions continues [formule]-périodiques sont limites uniformes de polynômes trigonométriques.
Quatre hypothèses à vérifier — et la plus délicate est de choisir l'espace : [formule] ou le cercle ?
L'exercice voisin donne la preuve constructive, par Fejér. Celle-ci est la preuve abstraite : on vérifie les hypothèses de Stone-Weierstrass et on conclut sans exhiber aucun polynôme. Elle est plus courte, et son seul point délicat est le choix de l'espace — s'y tromper rend la vérification fausse. Rappel — Stone-Weierstrass, version complexe. Soit [formule] compact et [formule] une sous-algèbre qui contient les constantes, sépare les points, et est stable par conjugaison ([formule]). Alors [formule] est dense dans [formule]. L'hypothèse de conjugaison est propre au cas complexe et n'est pas facultative. [formule], l'ensemble des polynômes trigonométriques [formule] (sommes finies), est une sous-algèbre : la stabilité par produit vient des formules de linéarisation, [formule] et ses analogues. Elle contient les constantes, terme [formule]. Le bon espace, et c'est le point. [formule] est une sous-algèbre de [formule], où [formule] est le cercle — compact comme image continue de [formule] — et non de [formule]. Séparation des points de [formule]. Si [formule] dans [formule], alors [formule], car un point du cercle est déterminé par ce couple : l'une des deux fonctions [formule] ou [formule] sépare donc [formule] et [formule]. ⚠️ Sur [formule] ce serait faux : toute fonction [formule]-périodique prend la même valeur en [formule] et en [formule], aucune ne peut donc les séparer. Travailler sur le cercle n'est pas un raffinement de rédaction, c'est ce qui rend l'hypothèse vraie. Stabilité par conjugaison. En écriture exponentielle, [formule] est l'ensemble des [formule], et [formule] appartient encore à [formule] — la famille des indices étant symétrique. La condition est donc satisfaite. Les quatre hypothèses étant vérifiées sur le compact [formule], Stone-Weierstrass conclut : [formule] est dense dans [formule], c'est-à-dire que toute fonction continue [formule]-périodique est limite uniforme de polynômes trigonométriques. ⚠️ L'erreur classique, au-delà du choix de l'espace : omettre la stabilité par conjugaison en croyant appliquer la version réelle. Si l'on travaille avec les [formule], on est dans [formule] et l'hypothèse est requise. Le contre-exemple qui le montre est l'algèbre des [formule] sur le disque fermé : elle contient les constantes, sépare les points, et n'est pas dense — ses éléments sont holomorphes, donc leurs limites uniformes aussi. 💡 À retenir. Deux preuves, deux usages. Stone-Weierstrass est court et se transpose à n'importe quel compact — mais il ne donne rien à calculer. Fejér est constructif, fournit une vitesse, et se prolonge en un résultat de convergence ponctuelle. Devant une question de densité, commencer par Stone-Weierstrass ; devant une question d'approximation effective, il faut le noyau.