Calculer [formule] et montrer que [formule].
Utiliser l'identité télescopique [formule].
Le télescopage est la méthode générale : elle donne [formule] à partir de [formule], donc toutes les sommes de puissances par récurrence. L'identité [formule] qui en sort est, elle, une curiosité remarquable — et il vaut la peine de savoir qu'elle admet une démonstration sans aucun calcul. Le principe du télescopage. La somme [formule] se réduit à [formule], tous les termes intermédiaires s'annulant. Or le binôme donne [formule] où le degré a baissé de un : c'est ce qui rend la méthode utile, la puissance [formule] produisant une expression en [formule]. Le calcul. En sommant de [formule] à [formule] : [formule] avec les valeurs connues [formule] et [formule]. En isolant, [formule] et après développement et factorisation on obtient [formule] Contrôles : [formule] donne [formule] ✓ ; [formule] donne [formule] ✓ ; [formule] donne [formule] ✓. L'identité de Nicomaque, sans calcul. [formule] se démontre par récurrence en une ligne : [formule] et la parenthèse vaut [formule]. Le produit fait donc [formule] : c'est exactement l'incrément de [formule]. Une démonstration visuelle existe aussi — un carré de côté [formule] se découpe en équerres d'aires [formule]. ⚠️ Il n'y a PAS de motif : [formule] et [formule] n'est le carré de rien. L'identité [formule] est une coïncidence de bas degré, pas le début d'une famille. Ce qui est vrai en général est que [formule] est un polynôme en [formule] de degré [formule], de coefficient dominant [formule] — cohérent avec [formule] — et que ses coefficients font intervenir les nombres de Bernoulli, par la formule de Faulhaber. Chercher une factorisation simple pour [formule] grand est perdu d'avance. 💡 À retenir. Le télescopage est la technique à connaître : [formule], et choisir pour [formule] la puissance d'exposant immédiatement supérieur fait baisser le degré. C'est l'analogue discret du théorème fondamental de l'analyse, et le même mécanisme donne les sommes de coefficients binomiaux par la formule du capitaine, ou les sommes de [formule] par la série géométrique.