Soit [formule] et [formule] le projecteur sur [formule] parallèlement à [formule]. Montrer que [formule] et [formule], [formule].
Décomposer [formule] et calculer [formule].
Le sens demandé est le plus facile des deux. L'énoncé part d'une décomposition [formule] et en déduit les propriétés du projecteur ; c'est la réciproque qui est utile en pratique — une application vérifiant [formule] fabrique à elle seule une décomposition en somme directe. On établira donc les deux sens, l'équivalence étant le vrai résultat. Le sens direct. Par définition de la somme directe, tout [formule] s'écrit de manière unique [formule] avec [formule] et [formule], et le projecteur est [formule]. Sa linéarité vient de l'unicité de la décomposition. Idempotence. Pour [formule], la décomposition est [formule], donc [formule] : le projecteur fixe [formule] point par point. Il en résulte [formule] Noyau et image. [formule] équivaut à [formule], c'est-à-dire à [formule] : donc [formule]. Et [formule], l'inclusion réciproque venant de ce que tout [formule] vérifie [formule]. La réciproque, qui est le résultat utile. Soit [formule] linéaire avec [formule]. Alors [formule], et [formule] est le projecteur sur [formule] parallèlement à [formule]. La décomposition s'écrit d'elle-même : [formule] Et la somme est directe : si [formule], alors [formule] pour un certain [formule], donc [formule]. La caractérisation qui fait tout marcher. [formule] : un vecteur est dans l'image si et seulement s'il est fixe. L'inclusion [formule] est immédiate, et [formule] vient de [formule]. C'est cette identité qu'on utilise sans le dire dans les deux sens de la démonstration, et il vaut mieux l'énoncer une fois pour toutes. Deux conséquences gratuites. Le polynôme [formule] annule [formule] ; étant scindé à racines simples, il rend [formule] diagonalisable, de valeurs propres contenues dans [formule] — les sous-espaces propres étant exactement [formule] et [formule]. Il en résulte, en dimension finie, [formule] la trace comptant les [formule] de la diagonale. Enfin [formule] vérifie [formule] : c'est le projecteur sur [formule] parallèlement à [formule], et [formule], [formule]. ⚠️ Un projecteur n'est pas nécessairement ORTHOGONAL. Rien dans [formule] ne mentionne de produit scalaire : le supplémentaire [formule] peut faire n'importe quel angle avec [formule]. La condition supplémentaire qui caractérise l'orthogonalité est [formule] — soit [formule] en matrices réelles. Par exemple [formule] vérifie [formule] mais n'est pas symétrique : elle projette sur [formule] parallèlement à [formule], direction qui n'est pas orthogonale à [formule]. 💡 À retenir. « Projecteur » et « décomposition en somme directe » sont deux façons de dire la même chose, et l'équivalence [formule] permet de passer de l'une à l'autre librement. Le réflexe pratique : devant une application vérifiant [formule], écrire immédiatement [formule] — c'est cette identité d'une ligne qui contient tout.