Déterminer la nature de [formule] et de [formule].
Ni [formule] ni [formule] ne permettent de conclure. Cherchez une primitive de la forme [formule].
Ces deux séries encadrent la frontière de convergence : [formule] est juste au-dessus, [formule] juste en dessous. Aucune comparaison avec un [formule] ne peut les séparer — il faut un outil plus fin, et c'est la comparaison série-intégrale. Rappel — Comparaison série-intégrale. Si [formule] est positive, continue et décroissante sur [formule], alors [formule] et [formule] sont de même nature. Cela vient de l'encadrement [formule], obtenu en majorant et minorant [formule] par ses valeurs aux bornes sur chaque intervalle. Première série. [formule] est positive décroissante sur [formule]. Une primitive se voit en reconnaissant la forme [formule] avec [formule] : [formule]. Donc [formule] diverge. Seconde série. Même forme, avec [formule] cette fois : [formule]. L'intégrale converge, donc [formule] converge. La frontière. Le même calcul avec [formule] donne [formule], qui converge si et seulement si [formule] : ce sont les séries de Bertrand. Le logarithme reproduit exactement, un cran plus bas, le comportement de Riemann [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Conclure par comparaison avec [formule] ou [formule]. Aucune des deux ne tranche : [formule] mais diverge quand même, et [formule] alors qu'elle converge. Être plus petit qu'une série divergente ne prouve rien, et les logarithmes vivent précisément dans l'espace que les puissances ne voient pas. 💡 À retenir. Deux outils pour la même famille, et il vaut mieux connaître les deux : la comparaison série-intégrale demande une primitive explicite, la condensation de Cauchy n'en demande aucune mais exige la décroissance. Sur [formule], où la primitive se complique, c'est la condensation qui est la plus rapide.