Soit [formule] sur [formule], prolongée par [formule]-périodicité. Calculer les coefficients de Fourier et en déduire [formule].
La parité tue les [formule]. Ensuite, quel point d'évaluation rend tous les cosinus égaux à [formule] ?
La fonction [formule] est paire : la moitié des coefficients est nulle avant tout calcul. Et ses coefficients ne survivent que pour [formule] impair, ce qui fait apparaître naturellement la somme demandée — celle des inverses des carrés impairs. Le point d'évaluation est ensuite choisi pour que tous les cosinus valent [formule]. Rappel — Convention employée ici. [formule] avec [formule]. ⚠️ Le facteur [formule] devant [formule] fait partie de la convention : c'est ce qui rend la formule de [formule] uniforme pour tout [formule]. L'exercice sur [formule] emploie l'autre convention, où [formule] est directement le terme constant — vérifier laquelle est en vigueur avant de comparer deux résultats. Parité. [formule] est paire, donc [formule] est impaire et son intégrale sur [formule] est nulle : [formule] pour tout [formule]. Il ne reste que des cosinus. Le coefficient constant. [formule]. Le terme constant de la série vaut donc [formule] — c'est bien la valeur moyenne de [formule] sur une période. Les autres. Par parité, [formule]. Une intégration par parties ([formule], [formule]) donne [formule], le crochet en sinus s'annulant aux deux bornes. D'où [formule] : nul si [formule] est pair, et égal à [formule] si [formule] est impair. Évaluation en [formule]. Le prolongement [formule]-périodique de [formule] est continu (les deux extrémités valent [formule]) et [formule] par morceaux : Dirichlet s'applique. En [formule], tous les [formule] valent [formule] — c'est pour cela qu'on choisit ce point — et [formule] : [formule]. D'où [formule] — vérifié numériquement. Et l'on retrouve [formule] en remarquant que les pairs valent [formule], d'où [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Mélanger les deux conventions de [formule] et perdre un facteur [formule] sur le terme constant. Le contrôle qui protège : le terme constant d'une série de Fourier est toujours la valeur moyenne de [formule] sur une période, ici [formule]. Si le calcul ne redonne pas cette valeur, c'est la convention qui a dérapé. 💡 À retenir. Deux réflexes économisent la moitié du travail : la parité annule d'emblée une famille de coefficients, et le point d'évaluation se choisit pour que les [formule] prennent une valeur simple — [formule] pour les rendre tous égaux à [formule], [formule] pour faire apparaître [formule]. Ce sont deux paramètres libres, à exploiter avant de calculer.