Déterminer le rayon de convergence de [formule].
Hadamard demande Stirling ; d'Alembert évite les deux. Faites les deux et comparez — puis regardez ce qui se passe en [formule].
Deux chemins mènent au rayon, et il vaut la peine de les faire tous les deux. Hadamard est universelle mais demande Stirling ici ; d'Alembert est immédiate mais suppose que le quotient a une limite. Elles doivent donner le même résultat, ce qui fournit un contrôle gratuit. Rappel — Formule d'Hadamard. Pour [formule], le rayon de convergence vérifie [formule]. Elle vaut toujours, sans hypothèse. La règle de d'Alembert, [formule], n'est applicable que si ce quotient converge. Par Hadamard. Ici [formule]. La formule de Stirling donne [formule], donc [formule]. Le facteur [formule] tend vers [formule] — c'est le point à ne pas escamoter : [formule]. Il reste [formule], d'où [formule] et [formule]. Contrôle par d'Alembert. [formule]. Même valeur, par un calcul qui n'a besoin ni de Stirling ni de limite supérieure. Que se passe-t-il au bord ? Le rayon ne dit rien de [formule], et il faut y regarder séparément. En [formule], Stirling donne [formule] : la série diverge (terme en [formule], non sommable). En [formule], la série est alternée de terme décroissant vers [formule] : elle converge par Leibniz. Le disque de convergence n'est donc pas symétrique en comportement. ⚠️ L'erreur classique. Écrire [formule] au lieu de [formule]. Pour une série lacunaire comme [formule], un terme sur deux est nul et la limite n'existe pas — seule la limite supérieure a un sens. Second piège : oublier [formule] en le jugeant négligeable sans le dire. Il l'est, mais parce qu'il tend vers [formule], et c'est une ligne à écrire. 💡 À retenir. Devant un coefficient factoriel, essayer d'Alembert d'abord : c'est plus court et cela évite Stirling. Garder Hadamard pour les cas où le quotient n'a pas de limite — séries lacunaires, coefficients bornés oscillants. Et toujours traiter le bord à part : c'est là que se jouent les questions intéressantes.