Montrer que [formule] converge et estimer [formule].
La convergence est immédiate ; comparez la BORNE de Leibniz à l'erreur réelle, puis demandez-vous combien de termes il faudrait pour six décimales.
La convergence est acquise en trois lignes par Leibniz. L'intérêt de cet exercice est ailleurs : il porte sur la qualité de la majoration du reste, et sur ce qu'elle dit du coût réel d'un calcul numérique. Rappel — Majoration du reste (Leibniz). Si [formule] décroît vers [formule], alors [formule], et le reste a le signe du premier terme négligé. Cette majoration ne demande aucun calcul supplémentaire — c'est ce qui fait la valeur du critère. Ici [formule] est positive, décroissante et tend vers [formule] : le critère s'applique, la série [formule] converge, et sa somme vaut [formule] (développement de [formule] prolongé en [formule] par le théorème d'Abel). Application à [formule] : [formule]. Le premier terme négligé étant [formule], on sait de plus que [formule] : la somme partielle sous-estime [formule]. Ce que la borne vaut vraiment. Numériquement [formule] et [formule] : l'erreur réelle est [formule], soit la moitié de la borne. Ce n'est pas un hasard — pour une série alternée régulière, le reste vaut environ [formule], la majoration de Leibniz est donc systématiquement pessimiste d'un facteur [formule]. Le coût, et il est rédhibitoire. Obtenir [formule] décimales exactes demande [formule] termes : environ un million pour six décimales. C'est ce qui rend cette série inutilisable pour calculer [formule] en pratique, et ce qui justifie les procédés d'accélération (moyennes de Cesàro, transformation d'Euler) ou le recours à une autre série, bien plus rapide, comme [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Prendre la borne de Leibniz pour l'erreur elle-même. C'est une majoration : annoncer « l'erreur vaut [formule] » est faux, elle vaut environ la moitié. Et l'inverse est plus grave : croire qu'une majoration pessimiste autorise à prendre moins de termes. 💡 À retenir. Une série alternée donne une borne d'erreur gratuite, mais une convergence lente. Devant un calcul numérique, la bonne question n'est pas « converge-t-elle ? » mais « combien de termes pour la précision voulue ? » — et la réponse se lit directement dans [formule].