Dans [formule], calculer l'inverse de [formule] modulo [formule].
Identification des coefficients ou algorithme itératif.
L'identification des coefficients est la méthode générale, et elle a un mérite qu'on ne soupçonne pas : elle est la récurrence. Le calcul fait apparaître les nombres de Fibonacci non par hasard, mais parce que [formule] est par construction leur série génératrice. Pourquoi l'inverse existe. Dans [formule], une série [formule] est inversible si et seulement si [formule]. La raison est que l'identification des coefficients se résout de proche en proche, chaque étape ne demandant qu'une division par [formule]. Ici le terme constant de [formule] vaut [formule] : l'inverse existe, et il est unique. Noter le contraste avec [formule], où seuls les polynômes constants non nuls sont inversibles — c'est le passage aux séries qui crée les inverses. L'identification. On cherche [formule] tel que [formule]. Le coefficient de [formule] dans le produit vaut [formule] (avec la convention [formule]), et il doit valoir [formule] pour [formule] et [formule] ensuite : [formule] C'est exactement la récurrence de Fibonacci, avec [formule]. Les coefficients. [formule] d'où [formule] Avec la convention [formule], on a [formule]. Contrôle : le produit [formule] a bien pour coefficients [formule] jusqu'au degré [formule]. Ce que la fonction génératrice permet ensuite. Décomposer en éléments simples [formule], où [formule] et [formule] sont les racines de [formule], donne directement la formule de Binet [formule] C'est la démarche standard : une récurrence linéaire à coefficients constants a pour série génératrice une fraction rationnelle, dont le dénominateur est le polynôme de la récurrence — et la décomposition en éléments simples redonne la forme close. ⚠️ Une série formelle n'est PAS une fonction, et il ne faut pas y chercher de convergence. [formule] est un anneau où [formule] est un symbole ; les opérations sont définies coefficient par coefficient, et aucune question de rayon ne se pose. C'est ce qui permet de manipuler [formule] sans se demander si la série numérique converge — elle ne converge d'ailleurs que pour [formule]. La convergence redevient pertinente seulement si l'on veut évaluer, ce qu'on ne fait pas ici. 💡 À retenir. Le critère d'inversibilité [formule] fait de [formule] un anneau local, d'unique idéal maximal [formule] — structure très différente de celle de [formule]. Et retenir la correspondance : récurrence linéaire d'ordre [formule] à coefficients constants [formule] série génératrice rationnelle de dénominateur de degré [formule]. C'est le principe de toute la combinatoire analytique.