Étudier la convergence de [formule] sur [formule].
La majoration est immédiate. La vraie question : peut-on dériver terme à terme ? Regardez la série des dérivées en [formule].
La majoration est immédiate ; l'intérêt de l'exercice est ce qu'on peut en déduire, et surtout ce qu'on ne peut pas. La convergence normale donne la continuité gratuitement, mais elle ne dit rien de la dérivabilité — et ici la série dérivée diverge. Rappel — Convergence normale (critère de Weierstrass). Si [formule] pour tout [formule], avec [formule] convergente, alors [formule] converge normalement, donc uniformément, donc simplement. Et une limite uniforme de fonctions continues est continue. Application. Pour tout [formule], [formule], et [formule] converge (série de Riemann, [formule]). La série converge donc normalement sur [formule] tout entier — pas seulement sur un segment, ce qui est rare et vient de ce que la majoration ne dépend pas de [formule]. Conséquences immédiates. Chaque [formule] est continue, donc [formule] est continue sur [formule]. Elle est de plus [formule]-périodique et impaire, comme somme de fonctions qui le sont — et c'est exactement une série de Fourier, de coefficients [formule]. Ce que la convergence normale NE donne PAS. Elle ne permet pas de dériver terme à terme. La série dérivée [formule] ne converge pas normalement ([formule], et [formule] diverge) ; pire, en [formule] elle vaut [formule] et diverge tout court. La fonction [formule] n'est donc pas dérivable en [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Enchaîner « converge normalement, donc [formule] est [formule] ». Le théorème de dérivation terme à terme exige la convergence uniforme de la série DÉRIVÉE, pas de la série initiale. C'est une hypothèse portant sur un autre objet, et l'exemple ci-dessus montre qu'elle peut échouer alors que tout va bien au départ. 💡 À retenir. Une hiérarchie à garder en tête : normale [formule] uniforme [formule] simple, et aucune réciproque. La convergence normale se prête bien à la continuité et à l'intégration terme à terme sur un segment ; pour la dérivation, il faut toujours redescendre d'un cran sur l'exposant et refaire l'étude.