Développer [formule] en série entière et donner son rayon de convergence.
Partez de [formule], qui est géométrique. Puis traitez les deux bords SÉPARÉMENT — et demandez-vous ce qui autorise à évaluer en [formule].
On ne développe pas [formule] directement : on part de sa dérivée, qui est une série géométrique connue, et on intègre. C'est le procédé standard — dériver simplifie, la primitive se récupère à une constante près, fixée par la valeur en [formule]. Rappel — Intégration terme à terme. Une série entière s'intègre terme à terme à l'intérieur de son disque de convergence, sans changement de rayon. Le résultat n'est donc valable a priori que sur l'ouvert [formule] ; le comportement au bord se traite séparément, et c'est souvent là que se joue l'intérêt. La dérivée. [formule], valable pour [formule] — c'est la série géométrique de raison [formule]. Intégration. En intégrant terme à terme entre [formule] et [formule], et puisque [formule] : [formule] pour [formule], après le changement d'indice [formule]. Rayon. [formule], donc [formule] — ce qu'on pouvait prévoir : [formule] explose en [formule], aucun rayon plus grand n'est possible. Le bord [formule]. La série y devient [formule], alternée de terme décroissant vers [formule] : elle converge par Leibniz. Mais cela ne suffit pas à conclure qu'elle vaut [formule] — la formule n'était établie que sur l'ouvert. C'est le théorème d'Abel radial qui autorise le passage à la limite [formule] et donne [formule]. Le bord [formule]. La série devient [formule], la série harmonique changée de signe : elle diverge. Ce qui est cohérent, [formule] quand [formule]. Le domaine de validité est donc [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Écrire directement [formule] « en faisant [formule] ». C'est le résultat juste obtenu par un raisonnement faux : l'égalité n'était démontrée que pour [formule], et rien n'oblige a priori une série entière à valoir la limite de sa somme au bord. Il faut Abel. Second point : l'asymétrie du domaine, [formule] et non [formule], surprend — mais le rayon de convergence ne dit jamais rien du bord, et les deux extrémités peuvent se comporter différemment. 💡 À retenir. « Dériver, développer, réintégrer » est le procédé standard pour tout ce qui se dérive en fraction rationnelle : [formule] par [formule], [formule] par [formule]. Et toujours traiter le bord séparément, avec Abel pour y passer à la limite quand la série numérique converge.