Déterminer le rayon et la somme de [formule].
Le rayon se lit sur les coefficients ; pour la somme, décomposez [formule] et surveillez la borne de départ après décalage d'indice.
Deux outils, dans cet ordre. Le rayon se lit sur les coefficients, sans jamais sommer. La somme, elle, s'obtient en décomposant [formule] en éléments simples pour se ramener à deux séries dont on connaît la somme — toutes deux issues du développement de [formule]. Rappel — Règle de d'Alembert pour le rayon. Si [formule] et [formule], alors [formule] est le rayon de convergence de [formule]. Attention au sens du quotient : c'est bien [formule] au numérateur. Ici [formule], donc [formule]. Le rayon vaut [formule]. Décomposition. [formule]. Pour [formule], les deux séries convergent séparément, ce qui autorise à écrire [formule]. La première vaut [formule]. Pour la seconde, on fait apparaître l'exposant qui manque : [formule], le terme [formule] ayant été retiré. En soustrayant : [formule], soit [formule] pour [formule]. Le cas [formule], que la formule ne couvre pas : la série y vaut [formule] terme à terme, donc [formule]. Un développement limité montre que la formule tend bien vers [formule] quand [formule] : [formule] est continue en [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Écrire [formule] en « décalant » sans soin. Le décalage d'indice change la borne de départ : la somme obtenue démarre à [formule], et c'est le terme [formule] retranché qui produit le « [formule] », donc le « [formule] » du résultat. L'oublier donne [formule], faux de [formule] exactement. 💡 À retenir. Un coefficient en [formule], [formule] ou [formule] appelle toujours la même manœuvre : éléments simples, puis reconnaissance de [formule] ou de [formule]. Et traiter à part le point où la forme close n'est pas définie.