Montrer que [formule] converge et estimer la somme partielle.
Vérifiez les trois hypothèses de Leibniz, et souvenez-vous qu'il majore aussi le reste.
Une série alternée dont la valeur absolue du terme décroît vers [formule] relève du critère de Leibniz — et ce critère a un avantage rare : il ne donne pas seulement la convergence, il majore le reste gratuitement, ce qui répond d'un coup aux deux questions posées. Rappel — Critère spécial des séries alternées (Leibniz). Si [formule] est positive, décroissante et tend vers [formule], alors [formule] converge. De plus le reste vérifie [formule], et [formule] a le signe du premier terme négligé. Ici la somme démarre à [formule] (le terme [formule] n'est pas défini) et [formule] : la suite est positive, décroissante, et tend vers [formule]. Les trois hypothèses sont vérifiées, donc [formule] converge. Majoration du reste. Le critère donne directement [formule], sans aucun calcul supplémentaire. Valeur de la somme. Le développement [formule] vaut pour [formule], et le théorème d'Abel permet de le prolonger en [formule] : [formule]. En changeant de signe, [formule]. Contrôle numérique. [formule], et l'écart à [formule] vaut [formule] — bien inférieur à la borne annoncée [formule]. La majoration est donc correcte, et elle n'est pas optimale : c'est normal, Leibniz majore par le premier terme négligé. ⚠️ L'erreur classique. Conclure « la série converge » et s'arrêter là. Elle converge, mais pas absolument : [formule] diverge. Cette semi-convergence a une conséquence spectaculaire (théorème de réarrangement de Riemann) — en changeant l'ordre des termes on peut obtenir n'importe quel réel comme somme. Une série semi-convergente ne se manipule donc pas comme une somme finie. 💡 À retenir. Leibniz rend deux services d'un coup : la convergence et une borne d'erreur immédiate, précieuse pour un calcul approché. Et toujours poser séparément la question de la convergence absolue : c'est elle qui autorise ensuite les réarrangements et les produits de Cauchy.