Construire la table de caractères de [formule].
[formule] a 3 classes de conjugaison : [formule], [formule], [formule].
La table se remplit par contraintes successives, et chaque contrainte vient d'un théorème général. L'intérêt de l'exercice est de voir ces théorèmes se combiner jusqu'à ne laisser qu'une possibilité — puis de vérifier le résultat par des relations d'orthogonalité qui n'ont pas servi à le construire. Rappel — les trois contraintes qui remplissent une table. Pour un groupe fini [formule] sur [formule] : le nombre de représentations irréductibles égale le nombre de classes de conjugaison ; la somme des carrés de leurs degrés vaut [formule] ; et le nombre de caractères de degré [formule] vaut [formule]. Application à [formule]. Trois classes — [formule], les trois transpositions, les deux [formule]-cycles — donc trois irréductibles. Leurs degrés vérifient [formule] ; comme un degré vaut toujours au moins [formule] et que [formule] est la seule décomposition en trois carrés, on obtient [formule]. Le nombre de caractères linéaires se confirme indépendamment : [formule], donc [formule] — exactement deux caractères de degré [formule]. Les trois caractères. [formule] est le caractère trivial, constant égal à [formule]. [formule] est la signature, qui vaut [formule] sur les cycles pairs et [formule] sur les transpositions. Pour [formule], on utilise la représentation par permutation sur [formule], dont le caractère est le nombre de points fixes ; elle se décompose en la triviale et la représentation standard de dimension [formule], d'où [formule] La table. [formule] Deux contrôles, dont un qui n'a pas servi à construire. Orthogonalité des lignes : [formule] vaut [formule] pour les trois — pour [formule], [formule], ce qui confirme l'irréductibilité. Orthogonalité des colonnes, indépendante : le produit d'une colonne par elle-même doit valoir [formule], soit [formule], [formule] et [formule] — vérifié ([formule], [formule], [formule]) — et les produits croisés doivent être nuls, ce qui est le cas des trois. ⚠️ La table de caractères ne détermine PAS le groupe. [formule] et [formule], non isomorphes, ont exactement la même table — cinq classes de tailles [formule] et des degrés [formule]. Deux groupes de même table sont dits isocatégoriques ; la table capture beaucoup — ordre, abélianité, treillis des sous-groupes distingués, existence d'un centre — mais pas tout. Croire l'inverse est l'erreur classique du chapitre. 💡 À retenir. La méthode générale : compter les classes, décomposer [formule] en somme de carrés, chercher d'abord les caractères de degré [formule] (ce sont ceux de [formule]), puis compléter par la représentation de permutation moins la triviale — celle-ci est irréductible pour [formule] dès [formule]. Enfin vérifier par les colonnes, contrôle indépendant de la construction.