Calculer [formule].
Somme géométrique ou symétrie.
La somme géométrique donne le résultat en une ligne. Ce qui mérite d'être ajouté, c'est que ce calcul est le cas particulier d'une relation d'orthogonalité qui fonde toute l'analyse de Fourier discrète — et qu'il faut savoir traiter à part le cas [formule], où la formule employée n'a pas de sens. Le calcul. Posons [formule]. Pour [formule], [formule] et la somme géométrique donne [formule] Pour [formule] la somme se réduit au seul terme [formule], donc [formule] — et la formule ci-dessus serait un [formule]. Vérification numérique : la somme vaut [formule] en module pour [formule], et exactement [formule] pour [formule]. Une seconde démonstration, sans série. Les racines [formule]-ièmes de l'unité sont exactement les racines de [formule], dont les relations coefficients-racines donnent la somme : c'est [formule], le coefficient de [formule] dans [formule], qui est nul dès que [formule]. Cette voie est la plus courte, et elle donne aussi le produit — [formule]. Troisième lecture, géométrique. Les [formule] sont les sommets du polygone régulier à [formule] côtés inscrit dans le cercle unité. Leur somme est [formule] fois leur barycentre, et ce barycentre est le centre du cercle par invariance de l'ensemble sous la rotation d'angle [formule] — un point fixé par une rotation non triviale est son centre. D'où [formule]. La généralisation, qui est le vrai résultat. Pour tout entier [formule], [formule] puisque [formule] est encore une racine [formule]-ième de l'unité, égale à [formule] exactement quand [formule]. Vérifié pour [formule] et [formule] : la somme vaut [formule] en [formule] et [formule], et [formule] pour les cinq valeurs intermédiaires. C'est la relation d'orthogonalité des caractères de [formule]. ⚠️ Attention à ne pas confondre « racine [formule]-ième » et « racine [formule]-ième PRIMITIVE ». L'ensemble [formule] contient les [formule] racines [formule]-ièmes, mais seules [formule] d'entre elles sont primitives — celles avec [formule]. La somme des racines primitives n'est pas nulle en général : c'est la fonction de Möbius [formule]. Pour [formule], la somme des deux racines primitives [formule] vaut [formule], et non [formule]. 💡 À retenir. La relation d'orthogonalité est ce qui fait fonctionner la transformée de Fourier discrète : c'est elle qui permet d'inverser la transformation, en isolant un coefficient par une somme qui annule tous les autres. On la retrouve sous la même forme pour les caractères d'un groupe abélien fini quelconque, et c'est l'outil de base de la démonstration du théorème de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique.