Montrer que [formule].
Calculer la norme de [formule] et construire un morphisme surjectif.
Le morphisme [formule] sort du chapeau, et l'on peut le vérifier sans comprendre d'où il vient. Il vient en fait d'un principe général — le quotient de [formule] par un premier [formule] est un corps à [formule] éléments — et [formule] est le cas le plus particulier de tous, le seul premier ramifié. La norme donne la taille du quotient. [formule]. Le fait général est que pour [formule] irréductible dans [formule], [formule] Ici [formule], donc le quotient a deux éléments : ce ne peut être que [formule]. Le calcul qui suit ne fait que rendre l'isomorphisme explicite. Le morphisme, et pourquoi c'en est un. Posons [formule], [formule]. L'additivité est immédiate. Pour la multiplicativité : [formule] le signe de [formule] étant sans effet modulo [formule]. C'est là que l'on voit que le morphisme n'est pas arbitraire : il fonctionne précisément parce que [formule] modulo [formule], c'est-à-dire parce que [formule] dans le quotient. Le noyau. [formule] est surjective ([formule]), et [formule] Cet ensemble est bien l'idéal [formule] : d'une part [formule], dont la somme des coordonnées vaut [formule], donc paire ; d'autre part si [formule] est pair, alors [formule] l'est aussi, et [formule] Le premier théorème d'isomorphisme donne [formule]. Ce qui rend [formule] exceptionnel : c'est le seul premier RAMIFIÉ. On a [formule] Le premier [formule] est donc, à une unité près, le carré d'un premier de [formule] — il se ramifie. Les autres premiers se comportent de deux façons : ceux [formule] se décomposent en deux facteurs conjugués distincts ([formule]), et ceux [formule] restent inertes, donc irréductibles dans [formule]. ⚠️ La taille du quotient n'est pas toujours [formule] « donc » un corps premier. Pour un premier inerte comme [formule], le quotient [formule] a [formule] éléments : c'est [formule], et pas [formule], qui n'est même pas intègre. Confondre le cardinal et la structure est l'erreur à ne pas commettre — un corps à [formule] éléments n'est jamais [formule]. 💡 À retenir. La trichotomie décomposé / inerte / ramifié est le premier exemple de la théorie algébrique des nombres, et elle se lit ici entièrement sur [formule]. Retenir aussi le mécanisme du calcul : pour identifier [formule], chercher un morphisme surjectif de [formule] vers le candidat dont le noyau est [formule] — c'est presque toujours plus court que de manipuler les classes directement.