Classifier la quadrique [formule].
Diagonaliser la matrice de la forme quadratique associée.
La classification des quadriques se lit entièrement sur la signature de la forme quadratique — trois nombres, et le type est déterminé. Le calcul du polynôme caractéristique n'est ici qu'un moyen de l'obtenir, et il existe des raccourcis quand la matrice a une structure par blocs, ce qui est le cas. La matrice, et son bloc. [formule] les coefficients croisés étant divisés par deux. La matrice est diagonale par blocs : un bloc [formule] en haut à gauche et le scalaire [formule]. On peut donc lire le spectre bloc par bloc — inutile de développer un déterminant [formule]. Le spectre. Le bloc [formule] s'écrit [formule], où [formule] est la matrice pleine de [formule] d'ordre [formule]. Or [formule] est de rang [formule], donc son spectre est [formule], et celui de [formule] est [formule]. En ajoutant la valeur propre isolée du troisième bloc : [formule] Contrôles : la trace vaut [formule] ✓ et le déterminant [formule] ✓. La signature et la conclusion. Deux valeurs propres positives, une négative : la signature est [formule]. Dans une base orthonormée propre, l'équation devient [formule] C'est l'équation réduite d'un hyperboloïde à une nappe. La table de classification, qui rend tout mécanique. Pour une quadrique [formule] avec [formule] de signature [formule] en dimension [formule] : [formule] Les cas dégénérés — une valeur propre nulle — donnent cylindres, cônes et paraboloïdes, selon la présence de termes linéaires. ⚠️ Le nombre de nappes se lit sur le nombre de signes MOINS, et il faut le vérifier sur le second membre. Avec la signature [formule] et un second membre [formule], la surface est connexe : c'est une nappe. Mais [formule] aurait la même signature et deux nappes — c'est le signe du second membre relativement à celui de la valeur propre isolée qui tranche. Un moyen sûr : couper par [formule]. Ici on obtient [formule], une ellipse non vide, donc la surface passe par le plan médian et n'a qu'une nappe. 💡 À retenir. L'hyperboloïde à une nappe est une surface réglée — il contient deux familles de droites, ce qui n'est pas visible sur l'équation réduite mais se voit en factorisant [formule] en produit de deux facteurs. C'est pourquoi on le construit avec des barres droites dans les tours de refroidissement. Le paraboloïde hyperbolique est l'autre quadrique réglée non dégénérée.