Montrer que [formule] converge pour [formule] et que [formule] se prolonge en [formule].
On ne prolonge pas la série : on lui retranche sa singularité. Comparez [formule] à [formule] terme à terme, et regardez l'exposant gagné.
La série [formule] diverge pour [formule] : on ne peut pas y « prolonger » [formule] en gardant la même formule. L'idée est de soustraire la singularité — un pôle simple en [formule], de résidu [formule] — et de montrer que ce qui reste, lui, converge sur un domaine plus large. La comparaison série-intégrale fournit exactement le terme à retrancher. Rappel — Convergence d'une série de Dirichlet. Pour [formule], on a [formule] : le module ne dépend que de la partie réelle. Donc [formule] converge absolument si et seulement si [formule], par comparaison de Riemann. C'est ce qui définit [formule] sur le demi-plan [formule], où la convergence est normale sur tout compact — donc [formule] y est holomorphe. Le terme à soustraire. Pour [formule], [formule], l'exposant [formule] étant de partie réelle négative. C'est la singularité : un pôle simple en [formule]. La différence, terme à terme. En découpant l'intégrale sur les intervalles [formule] : [formule]. La majoration, qui donne le gain. Sur [formule], l'inégalité des accroissements finis appliquée à [formule] donne [formule]. Chaque terme est donc [formule] — un exposant de mieux que le terme initial, et c'est tout le gain. Conclusion. La série [formule] converge dès que [formule], c'est-à-dire [formule]. La convergence étant normale sur tout compact de ce demi-plan, la somme y est holomorphe : [formule] se prolonge holomorphiquement à [formule], donc [formule] s'y prolonge en une fonction méromorphe dont le seul pôle est simple en [formule], de résidu [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Écrire que « [formule] converge pour [formule] ». Elle ne converge pas : c'est la différence [formule] qui a un sens comme série convergente, et [formule] n'est définie sur ce demi-plan que par prolongement. Confondre les deux, c'est manipuler [formule] comme si elle convergeait. Second point : la majoration invoquait « Euler-Maclaurin » — c'est plus simple que cela, une simple inégalité des accroissements finis suffit. 💡 À retenir. Le procédé « soustraire la singularité, montrer que le reste converge mieux » est le mécanisme du prolongement analytique élémentaire, et il se répète : recommencer avec un terme de plus fait gagner un nouveau demi-plan, jusqu'à couvrir [formule] tout entier. La voie rapide passe par l'équation fonctionnelle de Riemann, qui relie [formule] à [formule] et donne d'un coup tout le plan.