Dans [formule], projeter [formule] sur le plan [formule].
Projeter sur le normal et retrancher.
Projeter sur un plan de [formule] demanderait une base orthonormée de ce plan — donc un Gram-Schmidt. On l'évite entièrement en projetant sur la normale, qui est de dimension [formule], puis en retranchant. C'est le réflexe à avoir dès qu'un sous-espace est décrit par une équation plutôt que par une base. Rappel — projection sur une droite, et le supplémentaire orthogonal. Pour [formule], la projection orthogonale sur [formule] est [formule] Et [formule] dès que [formule], donc [formule]. Le plan [formule] s'écrit exactement [formule] : sa normale se lit sur les coefficients de l'équation. Le calcul. Avec [formule] : [formule] et [formule], donc [formule] Deux contrôles, dont un gratuit. D'abord l'appartenance : [formule], le résultat est bien dans [formule]. Ensuite Pythagore, qui vérifie le calcul entier : la décomposition étant orthogonale, [formule] Une erreur d'arithmétique dans la projection casse cette égalité presque à coup sûr, alors qu'elle peut très bien laisser le vecteur dans le plan. La distance, qui vient avec. La distance de [formule] au plan est [formule]. On retrouve la formule usuelle [formule] — et l'on voit d'où elle vient : ce n'est rien d'autre que la norme de la composante normale. La matrice du projecteur, et ce qu'elle vérifie. [formule], soit ici [formule] Elle satisfait [formule] (c'est un projecteur) et [formule] (il est orthogonal) — ces deux propriétés caractérisent les projecteurs orthogonaux. Et [formule], ce qui est la dimension du plan : la trace d'un projecteur est son rang. ⚠️ La formule [formule] ne se simplifie qu'avec un vecteur UNITAIRE. Écrire [formule] en oubliant [formule] donnerait ici [formule], trois fois trop grand, et le résultat [formule] ne serait même pas dans le plan — l'erreur se voit donc, mais seulement si l'on fait le contrôle. Vérifier que [formule] est unitaire avant de simplifier, ou garder le dénominateur. 💡 À retenir. Projeter sur un hyperplan revient toujours à projeter sur sa normale et à retrancher : la dimension du calcul passe de [formule] à [formule]. Deux contrôles à faire systématiquement — appartenance au sous-espace, et Pythagore. Et retenir la caractérisation [formule] avec [formule], qui distingue un projecteur orthogonal d'un projecteur quelconque.