Montrer que [formule].
Identifier [formule] et une transposition génère [formule].
Les quatre conditions du produit semi-direct interne se vérifient vite. L'important est ailleurs : c'est l'action qui distingue le produit semi-direct du produit direct, et deux actions différentes sur les mêmes facteurs donnent deux groupes non isomorphes. Ici, c'est la différence entre [formule] et [formule]. Rappel — le critère interne. [formule] est le produit semi-direct interne de [formule] par [formule] lorsque [formule] On écrit alors [formule], où [formule] est donnée par la conjugaison : [formule]. Noter l'asymétrie — seul [formule] doit être distingué. Vérification pour [formule]. Posons [formule] et [formule]. [formule] est distingué comme sous-groupe d'indice [formule]. L'intersection est triviale : les ordres [formule] et [formule] sont premiers entre eux, donc [formule] divise les deux et vaut [formule]. Enfin [formule], donc [formule]. L'action, qui est le contenu du résultat. [formule] La conjugaison par la transposition inverse le [formule]-cycle. Le morphisme est donc [formule] c'est-à-dire l'unique morphisme non trivial. D'où [formule]. ⚠️⚠️ La notation [formule] est incomplète sans [formule], et l'omettre change le groupe. Avec l'action triviale, le produit semi-direct est le produit direct : [formule], abélien. Avec l'inversion, c'est [formule], non abélien. Mêmes facteurs, deux groupes non isomorphes — la seule différence est [formule]. Écrire « [formule] » sans préciser l'action ne désigne donc rien de précis, sauf ici où il n'y a que deux morphismes possibles et où la notation est tolérée pour le non trivial. Le critère qui distingue direct et semi-direct. Le produit est direct si et seulement si [formule] est lui aussi distingué, ce qui équivaut à ce que [formule] soit triviale. Ici [formule] ne l'est pas : ses conjugués sont les trois transpositions, qui sont trois sous-groupes distincts. Contrôle croisé : si le produit était direct, [formule] serait abélien comme produit de deux cycliques, ce qu'il n'est pas. La même construction ailleurs. [formule] avec la même action par inversion — et [formule] n'est donc qu'un cas particulier. Plus généralement [formule], le groupe affine est [formule], et le groupe des isométries de l'espace est [formule] — dans tous les cas, un sous-groupe « de translations » distingué et un sous-groupe « de transformations » qui agit dessus. 💡 À retenir. Le produit semi-direct est la manière standard de reconstruire un groupe à partir d'un sous-groupe distingué et d'un quotient, quand la suite exacte [formule] est scindée. Toutes ne le sont pas : [formule] contient [formule] de quotient [formule], sans être un produit semi-direct des deux — il n'a qu'un seul élément d'ordre [formule], donc aucun sous-groupe d'ordre [formule] en intersection triviale.