Un standard téléphonique reçoit en moyenne 5 appels par minute. Quelle est la probabilité de recevoir exactement 3 appels en 30 secondes ?
Loi de Poisson de paramètre [formule].
L'énoncé donne un taux — [formule] appels par minute — et demande une probabilité sur une fenêtre de [formule] secondes. Toute la difficulté tient en une ligne : le paramètre de la loi n'est pas le taux, c'est le produit du taux par la durée. Le reste est une application de formule. Rappel — processus de Poisson. Un processus de comptage [formule] est de Poisson d'intensité [formule] lorsque ses accroissements sur des intervalles disjoints sont indépendants, stationnaires, et que [formule] Le paramètre est sans dimension : [formule] s'exprime en appels par minute, [formule] en minutes, leur produit en appels. Le calcul. Avec [formule] min[formule] et [formule] min, on a [formule] appels attendus, donc [formule] et [formule] soit environ [formule]. Contrôle par la forme de la loi. Le mode d'une loi de Poisson est [formule], et de fait [formule] dépasse légèrement [formule]. La distribution, [formule] a bien la forme en cloche dissymétrique attendue autour de [formule], et sa somme tend vers [formule] une fois la queue incluse. Deux quantités qui s'obtiennent au passage. La probabilité de n'avoir aucun appel en [formule] secondes vaut [formule], soit [formule]. Et le temps d'attente entre deux appels suit une loi exponentielle de paramètre [formule], donc de moyenne [formule] minute [formule] secondes — c'est l'équivalence fondamentale entre le comptage (Poisson) et les intervalles (exponentielle), qui rend visible la perte de mémoire sur le standard : le temps déjà écoulé depuis le dernier appel n'informe en rien sur le suivant. ⚠️ Deux erreurs d'homogénéité, également fréquentes. Écrire [formule] parce que « le taux est [formule] » revient à répondre à la question sur une minute, et donnerait [formule]. Et convertir en secondes sans convertir le taux — [formule] — donne un résultat absurde. Vérifier que [formule] et [formule] emploient la même unité de temps avant de calculer, en écrivant les unités explicitement. 💡 À retenir. Un processus de Poisson est entièrement caractérisé par le produit [formule] sur chaque fenêtre. Trois conséquences utilisables telles quelles : [formule], les intervalles entre événements sont exponentiels de paramètre [formule] et indépendants, et la superposition de deux processus indépendants d'intensités [formule] et [formule] est un processus d'intensité [formule] — c'est la stabilité de Poisson par somme, vue sous un autre angle.