[formule] suit une loi géométrique de paramètre [formule]. Calculer [formule] et [formule].
[formule] après dérivation.
La loi géométrique compte le nombre d'essais nécessaires pour obtenir un premier succès. On va calculer [formule] de trois façons : par une somme, par la formule des queues, et par un argument d'une ligne qui n'utilise aucune série. La troisième est celle qu'il faut retenir, parce qu'elle explique le résultat au lieu de le produire. Rappel. [formule] pour [formule], avec [formule] : il faut [formule] échecs puis un succès. Contrôle immédiat, [formule]. Première voie — la série dérivée. [formule] La dérivation terme à terme est licite : la série entière converge sur [formule], donc uniformément sur tout compact de ce disque. Deuxième voie — la formule des queues. Pour une variable à valeurs dans [formule], [formule]. Or [formule] signifie « les [formule] premiers essais ont échoué », donc [formule] et [formule] Une seule série géométrique, aucune dérivation. Troisième voie — conditionner sur le premier essai. Avec probabilité [formule] on gagne tout de suite, avec probabilité [formule] on a dépensé un essai et on recommence à l'identique (perte de mémoire) : [formule] Aucune série. C'est l'analogue discret de la propriété caractéristique de la loi exponentielle. La variance. On passe par le moment factoriel, plus commode : [formule], donc [formule]. D'où [formule] Contrôle et ordre de grandeur. Pour [formule] — attendre un [formule] au dé : [formule] et [formule], donc [formule]. L'écart-type est presque égal à la moyenne : la loi géométrique est très dispersée, ce qui se voit sur la formule générale [formule], proche de [formule] dès que [formule] est petit. Attendre [formule] lancers en moyenne ne veut donc pas dire qu'on en fera à peu près [formule]. ⚠️ Deux conventions cohabitent, et elles ne donnent pas le même résultat. Ici [formule] compte le nombre d'essais jusqu'au premier succès, donc [formule] et [formule]. Beaucoup d'auteurs — et la plupart des bibliothèques de calcul — appellent géométrique le nombre d'échecs avant le succès, soit [formule] à valeurs dans [formule] : alors [formule], tandis que la variance, insensible à une translation, reste [formule]. Vérifier le support avant d'appliquer une formule : c'est l'espérance qui bouge, pas la variance, donc l'erreur passe inaperçue sur la moitié des questions. 💡 À retenir. Trois outils, à choisir selon le contexte : la formule des queues [formule], valable pour toute variable entière positive ; le conditionnement sur le premier pas, qui évite toute série dès qu'il y a autosimilarité ; et le moment factoriel [formule] plutôt que [formule] quand une série doit être dérivée deux fois.