Un test a une sensibilité de 99% et une spécificité de 95%. La prévalence est 1%. Calculer la probabilité d'être malade sachant un test positif.
Appliquer [formule].
Le calcul est celui de l'exercice voisin — même test, même prévalence, même réponse. Ce qui est traité ici est l'erreur elle-même : pourquoi presque tout le monde répond « [formule] », et sous quelles formes cette même confusion réapparaît ailleurs, notamment au tribunal. Puis la question pratique : que faire d'un test positif ? Le calcul, pour mémoire. [formule], [formule], [formule]. Les probabilités totales donnent [formule] puis [formule]. L'identité qui nomme l'erreur. Bayes se réécrit [formule] Les deux conditionnels sont donc dans le rapport des deux probabilités marginales, et il n'y a aucune raison qu'il vaille [formule]. Ici [formule] : le conditionnel inverse est six fois plus petit. Confondre [formule] et [formule], c'est supposer [formule], c'est-à-dire que la maladie serait aussi fréquente que les tests positifs — manifestement faux dès que le test produit des faux positifs. La même confusion au tribunal. Une trace génétique correspond au prévenu, et l'expert annonce « une chance sur un million qu'un innocent corresponde ». On en conclut couramment « une chance sur un million qu'il soit innocent ». C'est la même inversion : le premier nombre est [formule], le second [formule]. Dans une population de [formule] millions de personnes, on attend [formule] correspondances fortuites — la probabilité d'innocence est donc de l'ordre de [formule], et non de [formule]. C'est le sophisme du procureur. Que faire d'un test positif : le refaire. En cotes, chaque test positif multiplie la cote par le rapport de vraisemblance [formule]. Partant de [formule] : [formule] C'est pourquoi un dépistage positif est toujours suivi d'un test de confirmation : ce n'est pas de la prudence administrative, c'est le seul moyen d'augmenter la cote. ⚠️ Mais ce calcul suppose les tests indépendants conditionnellement à l'état du patient, et c'est souvent FAUX. Si le faux positif vient d'une particularité biologique du patient — une réaction croisée, un marqueur atypique —, refaire le même test le redonnera positif avec quasi-certitude, et la cote ne bouge pas d'un iota. La confirmation n'a de valeur que si elle repose sur un mécanisme différent. C'est une hypothèse de modélisation, à énoncer, jamais un acquis. 💡 À retenir. [formule] et [formule] ne sont égaux que si [formule] — l'identité ci-dessus le dit exactement. Devant tout énoncé conditionnel, se demander lequel des deux est fourni et lequel est demandé ; et quand la réponse surprend, la recompter sur une population de [formule] personnes, où la formule redevient une simple division.