On lance une pièce équilibrée. Soit [formule] le premier instant [formule] tel que la marche aléatoire symétrique revient en 0 ([formule]). Montrer que [formule] et que [formule].
Utiliser la relation [formule] et [formule] avec [formule].
L'exercice voisin établit que la marche revient en [formule] ; celui-ci décrit quand. La réponse est spectaculaire : le retour est certain, et pourtant son temps d'attente moyen est infini. Le mécanisme qui produit ce paradoxe est une queue de distribution en [formule], juste assez lourde pour rendre la moyenne divergente et juste assez légère pour que la somme des probabilités vaille [formule]. Rappel — décomposition au premier retour. Posons [formule] et [formule]. Toute trajectoire revenant en [formule] à l'instant [formule] y est revenue une première fois à un instant [formule], puis a effectué un retour en [formule] pas de plus. Ces deux morceaux étant indépendants par la propriété de Markov, [formule] Passage aux séries génératrices. Posons [formule] et [formule]. La relation ci-dessus est un produit de Cauchy, donc [formule] Le [formule] isolé correspond au terme [formule], que la convolution ne produit pas. Calcul de [formule]. Le développement en série entière de [formule] donne l'identité classique [formule] ; avec [formule] et [formule], [formule] Extraction des coefficients, et le contrôle qui compte. En développant [formule] on obtient [formule] Vérification sur les premiers rangs, par dénombrement direct : [formule], ce qui est bien la probabilité que les deux premiers pas soient opposés ; [formule], et l'on compte en effet deux trajectoires favorables sur seize. Enfin [formule] : le retour est certain, ce qui redonne la récurrence de la marche. L'équivalent, et l'espérance infinie. De [formule] et [formule] on tire [formule] Contrôle numérique : le rapport de [formule] à cet équivalent vaut [formule] en [formule], puis [formule] en [formule] et [formule] en [formule]. Alors [formule] a un terme général équivalent à [formule] : la série diverge, donc [formule]. ⚠️ Un facteur [formule] traîne dans beaucoup de rédactions de cet exercice : on lit souvent [formule], ce qui est deux fois trop grand — le rapport mesuré vaut alors [formule] au lieu de [formule]. L'oubli vient de [formule], dont on garde le [formule] et perd le [formule]. Cela ne change pas la conclusion sur la divergence, mais une constante fausse invalide tout usage quantitatif de l'équivalent : vérifier un équivalent numériquement sur deux ou trois rangs coûte trente secondes et attrape exactement ce type d'erreur. 💡 À retenir. « Presque sûrement fini » et « d'espérance finie » sont deux propriétés distinctes, et cet exemple est le contre-exemple de référence qui les sépare — on parle de récurrence nulle. C'est aussi ce qui met en défaut le théorème d'arrêt de Doob sur cette marche. Et retenir la méthode : la décomposition au premier passage plus les séries génératrices est l'outil standard pour tout problème de temps d'atteinte sur une chaîne.