Soit [formule] un couple de variables aléatoires à valeurs dans [formule] avec [formule] et [formule]. Montrer que [formule] et [formule] ne sont pas indépendantes, bien que [formule].
Calculer [formule] et [formule], puis vérifier si [formule].
L'énoncé demande d'exhiber le contre-exemple standard à « non corrélé donc indépendant ». Il vaut mieux comprendre pourquoi cette implication est fausse : la covariance ne mesure qu'une chose, la dépendance linéaire, et ici la dépendance est parfaite mais purement quadratique. Rappel — les deux notions, et l'implication qui est vraie. L'indépendance signifie [formule] pour tous boréliens. La décorrélation signifie seulement [formule]. L'indépendance entraîne la décorrélation — c'est une ligne, en appliquant l'indépendance à [formule] — mais la réciproque est fausse, et c'est ce que l'exercice construit. Le calcul de la covariance. [formule], donc [formule]. Or [formule], donc [formule], et [formule] La covariance est donc nulle : les variables ne sont pas corrélées. Et pourtant [formule] est une fonction de [formule]. La dépendance est ici maximale — connaître [formule] détermine [formule] exactement. La vérification formelle : [formule] Comme [formule], les variables ne sont pas indépendantes. Pourquoi la covariance ne voit rien. Elle mesure la tendance de [formule] et [formule] à s'écarter de leur moyenne dans le même sens. Ici la relation [formule] est paire : quand [formule] passe de [formule] à [formule], [formule] ne change pas. Les contributions de [formule] et [formule] à [formule] sont exactement opposées et s'annulent. La covariance est aveugle à toute dépendance symétrique — c'est un défaut structurel, pas un accident de cet exemple. Le contre-exemple qu'il faut connaître en plus, parce qu'il piège même les avertis. Soit [formule] et [formule] équiprobable, indépendant de [formule] ; posons [formule]. Par symétrie de la gaussienne, [formule] aussi. Et [formule] Pourtant [formule] toujours : la dépendance est totale. Les deux marges sont gaussiennes, la covariance est nulle, et les variables ne sont pas indépendantes. Simulation sur [formule] tirages : covariance empirique [formule], variance de [formule] égale à [formule], et [formule] dans [formule] des cas. ⚠️ L'exception à connaître : pour un VECTEUR gaussien, décorrélé équivaut à indépendant. Mais l'hypothèse porte sur le vecteur [formule] conjointement gaussien, pas sur ses deux marges prises séparément — et c'est exactement ce que le contre-exemple ci-dessus met en défaut, ses marges étant gaussiennes sans que le couple le soit. Vérifier la gaussianité jointe avant d'invoquer cette équivalence, faute de quoi on conclut à l'indépendance sur un couple qui n'en a aucune. 💡 À retenir. La corrélation ne détecte que le linéaire, et [formule] ne dit rien de plus que « pas de tendance linéaire commune ». Pour établir une indépendance, revenir à la définition — factorisation des lois conjointes, ou de la fonction caractéristique [formule] — et se souvenir que la seule situation où la décorrélation suffit est celle d'un vecteur gaussien.