Soit [formule] la marche aléatoire symétrique sur [formule] ([formule], [formule] avec [formule]). Montrer que [formule] et en déduire que la marche est récurrente.
Utiliser la formule du binôme [formule] et l'approximation de Stirling.
Le résultat s'obtient en deux temps qu'il ne faut pas confondre : d'abord un équivalent de la probabilité de retour, purement combinatoire ; ensuite un critère qui traduit la divergence d'une série en une propriété de trajectoire. Le second point est celui qu'on saute trop vite, alors que c'est lui qui contient toute la probabilité. Le dénombrement. Après [formule] pas, [formule] signifie exactement autant de pas à droite qu'à gauche, soit [formule] de chacun. Chacune des [formule] trajectoires étant équiprobable, [formule] Noter au passage que [formule] : la parité interdit le retour en un nombre impair de pas. L'équivalent par Stirling. De [formule] on tire [formule] Contrôle numérique, indispensable sur un équivalent : le rapport de la valeur exacte à [formule] vaut [formule] en [formule], puis [formule] en [formule], [formule] en [formule] et [formule] en [formule]. La convergence est lente — l'écart relatif décroît en [formule] — mais nette. Rappel — le critère de récurrence. Pour une chaîne de Markov irréductible, l'état [formule] est récurrent si et seulement si [formule] La raison est un comptage : cette somme est l'espérance du nombre de visites en [formule], par échange de la somme et de l'espérance sur [formule]. Si le nombre de retours a une espérance infinie, il ne peut pas être fini presque sûrement. Conclusion. [formule] est une série de Riemann d'exposant [formule] : elle diverge. Donc la marche revient en [formule] une infinité de fois presque sûrement, et par irréductibilité elle visite tout entier une infinité de fois. Ordre de grandeur : la somme partielle jusqu'à [formule] vaut déjà [formule], et croît comme [formule]. ⚠️ Récurrent ne veut pas dire « revient vite ». La marche revient en [formule] presque sûrement, mais le temps de retour a une espérance infinie : on parle de récurrence nulle, par opposition à la récurrence positive d'une chaîne finie irréductible. C'est exactement pour cette raison que le théorème d'arrêt de Doob échoue sur cette marche, comme le montre l'exercice sur le temps d'atteinte. 💡 À retenir. Le résultat de Pólya complète le tableau et mérite d'être connu : la marche symétrique aux plus proches voisins est récurrente en dimensions [formule] et [formule], transitoire dès la dimension [formule]. Le basculement se lit sur l'exposant — [formule] décroît en [formule], donc la série converge dès que [formule]. D'où la formule de Kakutani : un homme ivre finit par rentrer chez lui, un oiseau ivre peut se perdre à jamais.