Soit la chaîne de Markov sur [formule] de matrice de transition [formule]. Déterminer la distribution stationnaire.
Résoudre [formule] avec [formule].
Trois états au lieu de deux : la méthode ne change pas, mais le système devient assez gros pour qu'une résolution désordonnée coûte cher. On va donc l'organiser, puis lire sur le résultat deux propriétés que le calcul seul ne donne pas — la non-réversibilité, et les temps moyens de retour. Le système. Avec la convention en ligne, [formule] s'écrit colonne par colonne : [formule] Les lignes de [formule] sommant à [formule], ces trois équations sont liées : leur somme est une identité. Deux d'entre elles suffisent, et c'est la normalisation qui referme le système. Résolution, en exprimant tout en fonction de [formule]. La deuxième équation donne [formule]. En la reportant dans la première : [formule] D'où [formule]. Normalisation et vérification. [formule], donc [formule] Vérification directe, à faire systématiquement : [formule] pour la première colonne, et de même [formule], [formule] pour les deux autres. Les trois colonnes sont bonnes. Ce que le résultat apprend, au-delà du calcul. Les temps moyens de retour sont les inverses : [formule] pas pour revenir en [formule], contre [formule] pour l'état [formule] et [formule] pour l'état [formule]. L'état [formule] est le plus visité, ce qui est cohérent avec la matrice — les états [formule] et [formule] y envoient respectivement [formule] et [formule] de leur masse. Noter aussi que [formule] n'est pas uniforme, ce qui est normal : [formule] est uniforme si et seulement si [formule] est bistochastique, or la première colonne de [formule] somme à [formule] et non à [formule]. La chaîne n'est pas réversible. Le critère est le bilan détaillé [formule], et il échoue sur les trois couples : [formule] contre [formule] pour [formule], puis [formule] contre [formule] pour [formule], et [formule] contre [formule] pour [formule]. Il existe donc un courant de probabilité qui tourne en régime stationnaire, ce qui distingue cette chaîne d'une marche sur un graphe pondéré — celles-là sont toujours réversibles. ⚠️ Le bilan détaillé est une condition SUFFISANTE, pas nécessaire. Trouver un [formule] qui le vérifie prouve immédiatement qu'il est stationnaire, et c'est le raccourci à tenter en premier sur une chaîne symétrique. Mais son échec, comme ici, n'empêche nullement l'existence d'une loi stationnaire : il dit seulement qu'il faut résoudre le système complet. Ne jamais conclure « pas de loi stationnaire » d'un bilan détaillé en défaut. 💡 À retenir. La marche à suivre est invariable : écrire [formule] colonne par colonne, se souvenir qu'une équation est redondante, exprimer tout en fonction d'une inconnue, normaliser, vérifier. Et deux lectures gratuites sur le résultat — [formule] est le temps moyen de retour en [formule], et [formule] uniforme équivaut à [formule] bistochastique.