Soit [formule] de loi exponentielle de paramètre [formule], de densité [formule]. Montrer la propriété d'absence de mémoire : [formule] pour [formule].
Calculer [formule] directement, puis utiliser la définition de la probabilité conditionnelle.
L'exercice voisin établit la perte de mémoire et montre par contre-exemple qu'elle n'a rien de banal. Celui-ci s'attaque au point difficile, esquivé là-bas d'une phrase : la réciproque. Pourquoi l'exponentielle est-elle la seule loi à densité à vérifier cette propriété ? La réponse est une équation fonctionnelle, et sa résolution réserve un piège. Le sens direct, pour mémoire. [formule]. Comme [formule], l'événement [formule] est inclus dans [formule], donc [formule] Mise en équation de la réciproque. Notons [formule] la fonction de survie d'une variable positive vérifiant la propriété. Celle-ci se réécrit [formule], soit [formule] C'est l'équation fonctionnelle de Cauchy sous forme multiplicative. On sait de plus que [formule] est décroissante, à valeurs dans [formule], avec [formule]. [formule] ne s'annule jamais. Supposons [formule] pour un [formule]. Alors [formule], donc [formule], et par récurrence [formule] pour tout [formule]. Or [formule] est décroissante et [formule], donc [formule] quand [formule] le long de cette suite — contradiction. Donc [formule] partout, et [formule] est bien définie. Résolution. [formule] vérifie [formule], l'équation de Cauchy additive, et [formule] est décroissante. On en déduit successivement [formule] pour [formule] entier, puis [formule] pour tout rationnel positif, par le même argument appliqué à [formule]. La monotonie permet enfin de passer aux réels par encadrement rationnel : [formule] pour tout [formule]. En posant [formule], on obtient [formule] ⚠️ La monotonie est INDISPENSABLE, et c'est le piège de cet exercice. L'équation de Cauchy [formule] admet, sans aucune hypothèse de régularité, des solutions pathologiques : en voyant [formule] comme espace vectoriel sur [formule] et en choisissant une base de Hamel, on construit des solutions non mesurables, non bornées sur tout intervalle, et dont le graphe est dense dans le plan. Elles n'existent que par l'axiome du choix, mais elles existent. Ce qui les élimine ici est la décroissance de [formule] — n'importe quelle hypothèse faible suffirait : mesurabilité, continuité en un point, ou bornitude sur un intervalle. L'analogue discret. Sur [formule], la même propriété [formule] caractérise la loi géométrique : [formule] par récurrence immédiate, sans aucune difficulté de régularité puisque le domaine est discret. C'est la même équation, résolue en deux lignes — toute la subtilité ci-dessus vient du passage au continu. 💡 À retenir. Deux choses. La perte de mémoire n'est pas une curiosité mais une caractérisation : dès qu'un modèle suppose qu'un composant ne vieillit pas, sa durée de vie est exponentielle, il n'y a pas de choix. Et l'équation de Cauchy est un classique dont il faut connaître le piège : sans hypothèse de régularité, ses solutions ne sont pas les fonctions linéaires.