Soient [formule] et [formule] indépendantes. Déterminer la loi de [formule].
Calculer [formule] par la formule de convolution discrète.
Le calcul par convolution est faisable et instructif : il montre d'où sort le binôme de Newton. Mais il faut savoir qu'une seconde voie le rend immédiat, et surtout ne pas conclure trop fort — la propriété obtenue est partagée par plusieurs familles de lois, contrairement à ce qu'on lit souvent. Rappel — convolution discrète. Si [formule] et [formule] sont indépendantes à valeurs dans [formule], alors [formule] La somme est finie parce que les deux variables sont positives : [formule] force [formule], donc [formule]. Le calcul. [formule] Le facteur [formule] a été introduit pour faire apparaître le coefficient binomial — c'est le seul geste astucieux du calcul. La somme est alors exactement [formule] par la formule du binôme, d'où [formule] La voie courte, par les fonctions génératrices. L'indépendance donne [formule], donc [formule] et le théorème d'unicité conclut. Une ligne au lieu de cinq — la convolution devient un produit, c'est tout l'intérêt de l'outil. Il faut savoir faire les deux : le calcul direct est parfois demandé, et il éclaire la structure combinatoire. ⚠️ La stabilité par convolution ne CARACTÉRISE PAS la famille de Poisson, contrairement à une affirmation fréquente. Les gaussiennes sont stables ([formule]), les binomiales de même [formule] le sont, les lois gamma de même taux aussi, ainsi que la loi de Cauchy. La stabilité est une propriété commune à toutes les familles infiniment divisibles, pas une signature. Ce qui, en revanche, est bien une caractérisation : le théorème de Raikov. Si [formule] et [formule] sont indépendantes et si [formule] suit une loi de Poisson, alors [formule] et [formule] suivent chacune une loi de Poisson. C'est l'énoncé fort, et il est nettement moins évident que la stabilité : il dit qu'un Poisson ne peut pas se décomposer autrement qu'en Poissons. Son analogue gaussien est le théorème de Cramér, et les deux se démontrent par la théorie des fonctions caractéristiques entières. 💡 À retenir. Trois faits à ne pas confondre. La stabilité ([formule] dans la famille [formule] dedans) est commune et facile. La décomposabilité inverse ([formule] dedans [formule] dedans) est rare et difficile : c'est Raikov ici, Cramér pour la gaussienne. Et l'amincissement — garder chaque point d'un Poisson avec probabilité [formule] — redonne un Poisson de paramètre [formule], ce qui fait de cette famille le socle de la théorie des processus ponctuels.