Soit [formule]. Calculer la fonction génératrice [formule] et en déduire [formule] et [formule].
Utiliser la définition [formule] et reconnaître l'exponentielle.
Le calcul de [formule] pour une loi de Poisson est fait dans l'exercice voisin, avec les moments et la stabilité par somme. On le refait ici brièvement, puis on va au-delà : la fonction génératrice ne sert pas qu'à calculer des moments, elle sert à démontrer des convergences en loi. C'est de loin son usage le plus puissant. Le calcul. [formule] la série exponentielle convergeant pour tout réel, donc le rayon est infini. Contrôle : [formule]. Les moments par dérivation en [formule]. [formule] donne [formule] ; [formule] donne [formule], d'où [formule] et [formule] Espérance et variance égales : la signature de Poisson. Rappel — les deux théorèmes qui donnent sa puissance à [formule]. Le théorème d'unicité : deux variables entières positives de même fonction génératrice ont la même loi, les [formule] étant les coefficients de Taylor de [formule] en [formule]. Le théorème de continuité : si [formule] pour tout [formule] et si [formule] est la génératrice d'une loi, alors [formule]. C'est le second qui transforme une limite de fonctions en une limite de lois. L'application décisive : la loi de Poisson comme limite de binomiales. Soit [formule]. Sa génératrice est [formule] La limite est la génératrice de [formule], donc [formule]. Deux lignes, contre une page de manipulation de coefficients binomiaux et de factorielles. Contrôle numérique, avec [formule] et [formule]. La probabilité binomiale vaut [formule] pour [formule], puis [formule] pour [formule] et [formule] pour [formule], contre [formule] pour la loi de Poisson limite. La convergence est nette, et elle est lente en [formule] — ce qui est cohérent avec le développement [formule]. ⚠️ Le régime compte : c'est [formule] qui doit rester borné, pas [formule] qui doit être grand. L'approximation de Poisson vaut pour « [formule] grand et [formule] petit à produit modéré » — en pratique [formule] et [formule]. Hors de ce régime c'est l'approximation normale qui s'applique, et les deux ne sont pas interchangeables : pour [formule] et [formule], Poisson serait absurde. Identifier le régime avant de choisir l'approximation. 💡 À retenir. La génératrice est un dictionnaire : elle traduit somme indépendante en produit, moments en dérivées en [formule], et convergence en loi en convergence simple de fonctions. Pour les variables non entières, ses deux analogues jouent le même rôle — la fonction génératrice des moments [formule], qui peut ne pas exister, et la fonction caractéristique [formule], qui existe toujours et fournit la démonstration standard du théorème central limite.