Soit [formule] une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur [formule]. Posons [formule]. Montrer que [formule] converge en loi vers [formule].
Calculer espérance et variance de [formule], puis appliquer le TCL.
L'application du théorème central limite est ici mécanique — deux moments à calculer, puis on cite. L'exercice ne devient formateur que si l'on regarde ce qui le fait fonctionner, c'est-à-dire les hypothèses, et ce qui se passe quand l'une d'elles tombe. C'est l'objet des deux derniers points. Les moments de la loi uniforme. [formule] et [formule], donc [formule] On retrouve la formule générale [formule] pour [formule]. Les moments de la somme. Par linéarité, [formule], sans aucune hypothèse. Par indépendance — et là c'est indispensable, les covariances devant s'annuler — [formule] La quantité [formule] est donc exactement la somme centrée réduite, d'espérance [formule] et de variance [formule] pour tout [formule]. Rappel — théorème central limite. Si les [formule] sont indépendantes, de même loi, et de variance [formule] finie et non nulle, alors [formule] Ici [formule] et [formule] : les trois hypothèses sont vérifiées, la conclusion suit. ⚠️ La variance finie n'est pas une hypothèse technique, et son absence ne dégrade pas le résultat — elle le détruit. Prenons les [formule] de loi de Cauchy, de densité [formule] : elles n'ont pas même d'espérance. Alors [formule] suit exactement la loi de Cauchy, pour tout [formule] — la moyenne de mille observations est aussi dispersée qu'une seule. Il n'y a ni loi des grands nombres, ni concentration, ni normalité asymptotique. Ce n'est pas « le TCL converge moins vite », c'est « il n'y a rien à quoi converger ». Ce que le théorème ne dit pas non plus. Il porte sur la convergence en loi, c'est-à-dire sur les fonctions de répartition en tout point de continuité — pas sur les densités, ni sur les trajectoires. En particulier [formule] ne converge vers aucune variable aléatoire au sens presque sûr : elle continue de fluctuer indéfiniment, c'est sa loi seule qui se stabilise. Confondre les deux est l'erreur conceptuelle la plus fréquente sur ce chapitre. Vitesse de convergence. Le théorème de Berry-Esseen la borne : [formule] donc un écart en [formule]. Cela signifie qu'il faut cent fois plus d'observations pour gagner un facteur dix de précision — même loi en [formule] que la largeur des intervalles de confiance, et pour la même raison. 💡 À retenir. Trois vérifications avant toute invocation du TCL : même loi, indépendance, variance finie non nulle. La dernière est celle qu'on oublie, et c'est la seule dont la violation rende l'énoncé faux plutôt qu'imprécis. Retenir Cauchy comme contre-exemple de référence : c'est la loi à queues lourdes qui ne se moyenne pas.