Convergence en loi vers une gaussienne

Énoncé

Soit [formule] une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur [formule]. Posons [formule]. Montrer que [formule] converge en loi vers [formule].

Indication

Calculer espérance et variance de [formule], puis appliquer le TCL.

Solution

[formule], [formule]. [formule], [formule] par indépendance. Les [formule] sont i.i.d., intégrables, de variance finie non nulle. Par le théorème central limite : [formule]. [formule]