Soit [formule] une variable aléatoire d'espérance [formule] et de variance [formule]. Donner une borne supérieure de [formule].
Inégalité de Tchebychev : [formule].
L'exercice voisin sur Markov compare des inégalités entre elles. Celui-ci pose une autre question, plus dérangeante : la borne de Tchebychev est très grossière ici — [formule] là où une loi normale donnerait [formule] —, et pourtant on ne peut pas l'améliorer. Comprendre pourquoi, c'est comprendre ce qu'on paie pour l'universalité. Rappel — inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour toute variable [formule] de variance finie, [formule] Elle s'obtient en appliquant l'inégalité de Markov à la variable positive [formule] avec le seuil [formule] : [formule]. Application. Ici [formule], [formule] et [formule] : [formule] Il est plus parlant de compter en écarts-types : [formule], donc [formule], et la borne se lit [formule]. La forme générale [formule] vaut d'être retenue telle quelle. Le prix de l'universalité. Si [formule] suivait [formule], la vraie valeur serait [formule]. Tchebychev majore donc par quarante fois la valeur réelle. Ce n'est pas un défaut de la démonstration : l'inégalité doit rester vraie pour toutes les lois de variance [formule], y compris les plus étalées, et c'est cette exigence qui la rend lâche sur les lois régulières. Et pourtant elle est optimale. Construisons la variable la plus défavorable : [formule] vaut [formule] avec probabilité [formule], [formule] avec probabilité [formule], et [formule] avec probabilité [formule]. Alors [formule] par symétrie, et [formule] tandis que [formule] exactement. La borne est donc atteinte : aucune inégalité plus fine ne peut être écrite à partir des seules données [formule] et [formule]. ⚠️ La borne peut être vide de sens, et il faut savoir le voir. Pour [formule] elle donne [formule], ce qui est vrai mais n'apprend rien : toute probabilité est majorée par [formule]. Ici, avec [formule], on obtiendrait la borne [formule]. Une inégalité de concentration ne devient informative qu'au-delà de quelques écarts-types — c'est le premier réflexe à avoir avant de l'appliquer. 💡 À retenir. Tchebychev est le prototype des résultats « universels mais lâches ». Sa vraie utilité n'est pas numérique mais théorique : appliquée à [formule], dont la variance vaut [formule], elle donne [formule], c'est-à-dire la loi faible des grands nombres en deux lignes.