Soit [formule] une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre [formule], c'est-à-dire [formule] pour [formule]. Calculer [formule] et [formule].
Utiliser les séries [formule] et [formule].
L'exercice voisin sur la loi géométrique privilégie les voies courtes — formule des queues, conditionnement sur le premier pas. Celui-ci fait le calcul par les séries entières, et l'intérêt est alors de justifier chaque échange plutôt que de l'écrire vite : c'est là que se joue la rigueur, pas dans l'algèbre. Le cadre. [formule] pour [formule], avec [formule]. La série entière [formule] a pour rayon de convergence [formule], et [formule] est strictement à l'intérieur du disque : c'est cette inégalité stricte qui autorise tout ce qui suit. Rappel — dérivation terme à terme. Une série entière est de classe [formule] sur son disque ouvert de convergence, et sa dérivée s'obtient terme à terme, avec le même rayon. De [formule] sur [formule] on tire donc, en dérivant une puis deux fois, [formule] L'espérance. [formule] L'interversion somme-espérance est licite parce que tous les termes sont positifs (théorème de convergence monotone), et la valeur finie obtenue prouve a posteriori que [formule] est intégrable. Le moment factoriel, puis la variance. Passer par [formule] plutôt que par [formule] évite un terme croisé : [formule] D'où [formule], puis [formule] Contrôle par la fonction génératrice. [formule] pour [formule]. Alors [formule] donne [formule], et [formule] donne [formule]. Les deux moments sont retrouvés par un chemin entièrement différent, et [formule] valide la normalisation. ⚠️ Le rayon de convergence est ce qui rend [formule] licite. Ici [formule] strictement, donc [formule] est intérieur au disque et la dérivation en ce point ne pose aucun problème. Pour une variable dont la génératrice n'aurait qu'un rayon égal à [formule], il faudrait passer par la limite [formule] et un théorème d'Abel — et le moment pourrait être infini. Vérifier le rayon avant de dériver en [formule] n'est pas une formalité. 💡 À retenir. Deux réflexes que cet exercice installe. Le moment factoriel [formule] est presque toujours plus commode que [formule] pour une loi discrète : la dérivée seconde de [formule] le produit directement. Et une seconde méthode — ici la fonction génératrice — coûte trois lignes et attrape les erreurs de signe et d'indice, qui sont les plus fréquentes dans ce type de calcul.