Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire deux boules sans remise. Sachant que la première boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la seconde soit noire ?
Appliquer la définition [formule].
L'énoncé se résout de deux façons, et c'est leur confrontation qui a de la valeur. La première applique la définition sans réfléchir ; la seconde raisonne directement sur l'urne après le premier tirage. Elles donnent le même nombre, mais la seconde repose sur un argument qu'il faut savoir énoncer — sans quoi c'est une intuition, pas une démonstration. Rappel — probabilité conditionnelle. Pour [formule], [formule] La condition [formule] n'est pas décorative : elle est vérifiée ici puisque [formule]. Première voie — la définition. Notons [formule] l'événement « la première boule est blanche » et [formule] « la seconde est noire ». Il y a [formule] blanches sur [formule] boules, donc [formule]. Pour l'intersection, on décrit le tirage complet : la première est blanche ([formule] chances sur [formule]), puis la seconde est noire parmi les [formule] restantes, dont [formule] sont noires : [formule] D'où [formule] Seconde voie — le raisonnement direct. Sachant que la première boule tirée est blanche, l'urne contient désormais [formule] blanches et [formule] noires, soit [formule] boules. La probabilité que la seconde soit noire est donc [formule]. C'est immédiat, et c'est la même réponse. Pourquoi la seconde voie est légitime, et non un raccourci. Conditionner par [formule], c'est remplacer l'univers [formule] par [formule] muni de la probabilité [formule] — et l'on vérifie que [formule] est bien une probabilité sur [formule]. Raisonner « dans l'urne appauvrie » revient exactement à travailler dans cet espace probabilisé. Ce n'est pas une astuce de calcul mais un changement d'espace, et c'est pour cela qu'il est valide. Un contrôle instructif. Quelle est la probabilité que la seconde boule soit noire sans rien savoir de la première ? Par la formule des probabilités totales : [formule] On retrouve exactement la proportion initiale de noires. Ce n'est pas une coïncidence : les tirages sans remise sont échangeables, donc la seconde boule a la même loi que la première tant qu'on n'a rien observé. ⚠️ Sans remise, les deux tirages ne sont pas indépendants. Ici [formule] alors que [formule] : savoir que la première est blanche augmente la probabilité que la seconde soit noire, ce qui est intuitif puisqu'on a retiré une blanche. Avec remise, en revanche, [formule] et l'indépendance est rétablie. 💡 À retenir. Deux faits qui se complètent. Conditionner, c'est changer d'univers — d'où la légitimité du raisonnement direct sur l'urne appauvrie. Et l'échangeabilité : sans information, la [formule]-ième boule d'un tirage sans remise a la même loi que la première, quel que soit [formule]. C'est ce qui rend équitable un tirage au sort où l'ordre de passage est fixé à l'avance.