Calculer [formule] en utilisant les nombres complexes.
[formule] : ramenez-vous à UNE primitive d'exponentielle, et n'oubliez pas de reprendre la partie réelle à la fin.
Deux intégrations par parties successives viennent à bout de [formule], mais elles sont pénibles et l'intégrale réapparaît. Le passage par les complexes la remplace par le calcul d'une seule primitive d'exponentielle, qui est immédiat — et il livre gratuitement l'intégrale en sinus au passage. Rappel — Le principe. [formule], donc [formule]. L'intégration étant [formule]-linéaire, elle commute avec la partie réelle : [formule]. La primitive complexe se calcule comme une exponentielle réelle : [formule]. On rend le dénominateur réel en multipliant par le conjugué : [formule]. On développe en écrivant [formule] : [formule], en regroupant parties réelle et imaginaire. Partie réelle : [formule]. Contrôle par dérivation : [formule] ✓. Le bonus, et c'est l'argument décisif de la méthode : la partie imaginaire du même calcul donne [formule]. Un seul calcul, deux primitives — là où les IPP en auraient demandé deux fois deux. ⚠️ L'erreur classique. Oublier de prendre la partie réelle à la fin et rendre la primitive complexe entière. Second piège : écrire [formule] en croyant conjuguer — il faut diviser par [formule]. Un contrôle par dérivation coûte dix secondes et attrape les deux. 💡 À retenir. Tout produit [formule] ou [formule] se primitive ainsi, en une ligne, avec [formule] comme seul calcul. La méthode s'étend à [formule] et c'est elle qu'on retrouve derrière la recherche de solutions particulières d'équations différentielles à second membre trigonométrique.