Trouver le polynôme P de degré [formule] tel que P(0)=1, P(1)=2, P(2)=5.
Utiliser les polynômes de Lagrange.
L'exercice voisin résout un système linéaire ; ici on écrit directement la réponse grâce à une base adaptée de [formule]. C'est l'idée générale — quand un problème linéaire est pénible dans la base canonique, on change de base pour que la solution devienne lisible. Reste à savoir ce que cette élégance coûte en pratique, et la réponse surprend. Rappel — les polynômes de Lagrange. Pour des points distincts [formule], on pose [formule] Chaque [formule] est de degré exactement [formule], et le dénominateur est non nul précisément parce que les points sont distincts. Construction aux points [formule], [formule], [formule]. [formule] Contrôle immédiat : [formule] et [formule], comme attendu. La solution s'écrit sans calcul. Puisque [formule], le polynôme [formule] prend la valeur [formule] en [formule] — chaque terme sauf un s'annule. C'est là tout l'intérêt de la base : les coordonnées de [formule] sont les valeurs imposées. Développement. [formule] Contrôle : [formule], [formule], [formule]. ✓ Pourquoi [formule] est une base de [formule]. Elle est libre : si [formule], évaluer en [formule] donne [formule]. Elle compte trois éléments dans un espace de dimension trois, donc c'est une base. On reconnaît exactement le mécanisme de la base duale — les [formule] sont les antécédents des formes d'évaluation [formule]. ⚠️⚠️ Élégant ne veut pas dire numériquement sûr : le phénomène de Runge. Interpoler une fonction régulière sur un grand nombre de points équidistants peut diverger. Sur [formule] dans [formule], l'erreur maximale de l'interpolant mesure [formule] avec [formule] points, [formule] avec [formule], et [formule] avec [formule] — elle explose au lieu de tendre vers zéro, l'oscillation se concentrant près des bords. Le remède n'est pas de changer de méthode mais de changer les points : avec [formule] points de Tchebychev, l'erreur tombe à [formule], soit quatre mille fois mieux. Ajouter des points équidistants aggrave donc le résultat, ce qui est exactement contre-intuitif. 💡 À retenir. Lagrange donne la formule la plus lisible et la démonstration la plus courte de l'existence — c'est sa vraie fonction, théorique. Pour le calcul effectif on lui préfère la forme de Newton, dont les différences divisées permettent d'ajouter un point sans tout recommencer. Et retenir la leçon de Runge : la qualité d'une interpolation dépend d'abord du choix des points, jamais de la forme sous laquelle on écrit le polynôme, qui est le même dans les trois écritures.